Matematické Fórum

jeame · 13. 10. 2011 21:46

Dobrý den, potřebuji rozložit na součin tento příklad:
(a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3

(ta trojka znamená mocnina na třetí) mně po rozložení vyjde 3[ab(b - a) + bc(c - b) + ac(a-c)] ....vím že tento výsledek je dobře, ale potřeboval bych postup jak se dostat k výsledku 3(a - c)(b - a)(b - c)

Děkuji za odpovědi :)

((:-)) · 13. 10. 2011 21:54 — Editoval ((:-)) (13. 10. 2011 23:26)

↑ jeame:

Skús najprv upraviť súčet tretích mocnín podľa "vzorca " $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$ , A je prvá zátvorka a B je druhá zátvorka...

$\color{red}$(a-b)+(b-c)$\color{black}$\color{blue}(a-b)^2\color{black}-(a-b)(b-c)+(b-c)^2$+(c-a)^3$

$\color{red}$a-c$\color{magenta}$\color{blue}(a^2-2ab+b^2)\color{black}-(ab-ac-b^2+bc)+(b^2-2bc+c^2)\color{magenta}$\color{black}\color{red}-\color{black}(a-c)^3$

$$a-c$\color{magenta}$\color{black}a^2-2ab+b^2-ab+ac+b^2-bc+b^2-2bc+c^2\color{magenta}$\color{red}-\color{black}(a-c)^3$

$(a-c)\color{magenta}\[\color{black}a^2-2ab+b^2-ab+ac+b^2-bc+b^2-2bc+c^2\color{red}-\color{blue}(a-c)^2\color{magenta}\]$

$(a-c)\[a^2-2ab+b^2-ab+ac+b^2-bc+b^2-2bc+c^2\color{red}-\color{blue}(a^2-2ac+c^2)\color{black}\]$

$(a-c)\[\color{red}a^2\color{black}-2ab+b^2-ab+ac+b^2-bc+b^2-2bc\color{blue}+c^2\color{red}-a^2\color{black}+2ac\color{blue}-c^2\]$

$(a-c)\[-3ab+3b^2+3ac-3bc\]$

$3(a-c)\[-ab+b^2+ac-bc\]$

$3(a-c)\[c(a-b)-b(a-b)\]$

$\color{red}3(a-c)(a-b)(c-b)$

Na papieri mám úpravy asi na polovičný počet riadkov, ale zlákalo ma ctrlC a ctrlV - možno postup niekedy ešte upravím...

jeame · 13. 10. 2011 22:12

↑ ((:-)):

to mě též napadlo, ale pak opravdu nevím co dál s tím (c - a)^3 :))

upraveno: [(a - b) + (b - c)] [(a - b)^2 - (a - b)(b - c) + (b-c)^2] + (c - a)^3

marnes · 13. 10. 2011 22:17

↑ jeame:

(a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+c^3-3c^2a+3ca^2-c^3=
=3(-a^2b+ab^2-b^2c +bc^2-c^2a+ca^2)= teď je to kouzlo:-), dodám abc-abc
=3(-a^2b+ab^2-b^2c+abc +bc^2-c^2a+ca^2-abc)=v prvních čtyřech vytknu b, ve druhých -c
=3(b.(-a^2+ab-bc +ac) -c(-bc+ca-a^2+ab)=ty závorky jsou stejné, takže je vytkneme
=3(b-c).(-a^2+ab-bc +ac) a ten čtyřčlen už jde snadno rozložit na (a - c)(b - a)

jeame · 13. 10. 2011 22:36

Děkuji vám moc oboum, jste kapacity :)) (ani náš profesor matematiky na to nepřišel)

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2011 21:46

Rozklad mnohočlenu

#2 13. 10. 2011 21:54 — Editoval ((:-)) (13. 10. 2011 23:26)

Re: Rozklad mnohočlenu

#3 13. 10. 2011 22:12

Re: Rozklad mnohočlenu

#4 13. 10. 2011 22:17

Re: Rozklad mnohočlenu

#5 13. 10. 2011 22:36

Re: Rozklad mnohočlenu

Zápatí