Matematické Fórum

emko02 · 05. 07. 2008 16:03

zdravim mam tu problem s dvěma limitama 1) limita posloupnosti: lim n->nekonečna 2^n/n řešil jsem to Lopithalem ale to je prej spatne....2) limita fnc: lim x->0 tan2x/3x
moc děkuju předem za pomoc

u ty první mi vyšlo nekonečno u ty druhy mi vyšlo 1/6

Marian · 05. 07. 2008 16:06 — Editoval Marian (05. 07. 2008 16:21)

Ad 1. Staci si uvedomit, ze plati nerovnost
$n^2\le 2^n,\qquad n\ge 2.$

Ze to neplati i pro n=1 nevadi, protoze pocitas limitu pro n rostouci do nekonecna. Na zaklade uvedene nerovnosti plati take
$\frac{n^2}{n}\le\frac{2^n}{n},\qquad n\ge 2.$

Dale lze pripsat znaky limit:
$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{n}\le\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n}.$

Uvedomis-li si, ze vyraz v leve limite je roven n, mas snadno limitu leve strany, totiz $\lim\frac{n^2}{n}=\lim n=+\infty$ . Protoze limita na prave strane nerovnosti ma byt vetsi nebo rovna limite vlevo, musi byt nutne take
$\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n}=\infty .}$

Ad 2. U druheho prikladu lze pouzit l'Hospitalovo pravidlo. To je ale snadne.

emko02 · 05. 07. 2008 17:07

Děkuji..ještě malej dotaz kdyby se v té první limitě prohodil čitatel s jmenovatelem, takže by to bylo nějak takhle lim n->nekonečna n/2^n řešilo by se to stejně? jestli jo tak by mělo vyjit 1

Marian · 05. 07. 2008 17:15 — Editoval Marian (05. 07. 2008 17:16)

↑ emko02:

Nerovnost $n^2\le 2^n,\quad n\ge 2$ dava nerovnost pro prevracene hodnoty ve tvaru
$\frac{1}{n^2}\ge\frac{1}{2^n},\quad n\ge 2.$

Pro nasobis kladnym cislem n a mas
$\frac{n}{n^2}\ge\frac{n}{2^n},\quad n\ge 2.$

Leva strana je rovna 1/n, coz se v limite blizi nule. To spolecne s faktem, ze prava strana je podle uvedene nerovnosti pro prislusna prirozena cisla n mensi nez leva strana, ale zaroven vzdy kladna, dava vysledek
$\boxed{\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2^n}=0.}$

Nevim tedy, odkud mas tvrzeni, ze limita by se rovnala jedne.

emko02 · 05. 07. 2008 21:07

ani nevim jak sem to řešil..ja se začal učit limity včera teprv:D a všecky zpusoby řešení jsem si ještě nestačil projít..:) ale tohle forum je paradní když tady jsou lidi jako ty, to aspon pochopim rychle:)

Olin · 05. 07. 2008 22:29

Je nějaký matematický důvod pro to, aby nešla limita $\lim_{n \to \infty}\frac{2^n}{n}$ určit l'Hospitalem?

jelena · 05. 07. 2008 22:46

↑ Olin:

Zdravim :-)

tady byla debata o pouziti l´Hospitala pro posloupnost http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=375

Hezke cteni :-)

Marian · 05. 07. 2008 23:31

↑ jelena:

Presne na toto jsem si vzpomnel, kdyz jsem resil tuto ulohu. Snazil jsem se volit prostredky co nejelementarnejsi. To byl duvod. Dokazat l'Hospitalovo pravidlo podrobne zase az takopva elementarni vec neni a to nehovorim ani o Stolzove vete.

Tomsus · 06. 07. 2008 00:48

Fuj, dokazovat Stolzovu větu... ale koneckonců to zas taková divočina jako u L'Hospitala nebyla :-)

Já osobně bych to asi dělal limitním podílovým kritériem. (analogie u řad je to D'Alembertovo - nevím, jak u posloupností..)

Olin · 06. 07. 2008 13:02

↑ jelena: Jo, to vypadá zajímavě. Samozřejmě, že zrovna tato limita patří do kategorie "podívám se a vidím", jen mě tady docela zaujal fakt, že zatímco zápis
$\lim_{x \to \infty}\frac{2^x}{x}$
by nás nijak nevyděsil a bez dalších diskusí bychom "l'Hospitalovali", zápis
$\lim_{n \to \infty}\frac{2^n}{n}$
nás nutí k použití jiných aparátů… A to je rozdíl pouze v písmenku :-)

Marian · 07. 07. 2008 11:35

↑ Olin:
Tvuj zapis v prispevku, na ktery reaguji, je az na pismenko stejny. Jenze ohledne puvodniho zadani je rozdil jeste v tom, ze se tam hovori o limite posloupnosti. I ta prvni limita, kterou uvadis (tedy ta s x) muze znacit limitu posloupnosti. Pokud se vyskytne totiz priklad na limitu, je jiste zpotrebi primarne sdelit, zda se jedna o limitu funkce nebo limitu posloupnosti.

Protoze definice funkce a posloupnosti je jina, musi se ruznit take pouzity aparat. V nekterych pripadech lze po jistych uvahach ale pouzit pro vypocet limity funkce l'Hospitalovo pravidlo.

Matematické Fórum

#1 05. 07. 2008 16:03

Limita posloupnosti a lim fnce

#2 05. 07. 2008 16:06 — Editoval Marian (05. 07. 2008 16:21)

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

#3 05. 07. 2008 17:07

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

#4 05. 07. 2008 17:15 — Editoval Marian (05. 07. 2008 17:16)

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

#5 05. 07. 2008 21:07

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

#6 05. 07. 2008 22:29

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

#7 05. 07. 2008 22:46

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

#8 05. 07. 2008 23:31

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

#9 06. 07. 2008 00:48

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

#10 06. 07. 2008 13:02

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

#11 07. 07. 2008 11:35

Re: Limita posloupnosti a lim fnce

Zápatí