Matematické Fórum

Phate · 16. 10. 2011 14:36

Dobry den, mam potiz s jednou limitou bez L`Hospitala, ve skole zatim delame bez lhospitala a pomoci nej nemam tuto limitu problem vyresit, ale bez nej je to trochu problem.
Zadani:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}{(\sin x)^{\tan x}}$
Muj postup:
Mame neurcitost tvaru $1^{\infty}$ , jako pomucku nam ucitel napsal pouzit zname limity pro $e$ , takze jsem se $\sin x$ snazil upravit do tvaru $y+\frac1y$ , coz se mi take povedlo, vyslo mi, ze $y=\frac1{1- \sin x}$ , po dosazeni do limity a upraveni exponentu mi vychazi, ze:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}{(\sin x)^{\tan x}}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}{e^{\frac{\sin x - \sin^2 x}{cos x}}}$ a po zlhopitalovani celkem lehce vyjde, ze ten exponent se rovna nule, ale jak to udelat bez lhospitala? mel jsem postupovat jinak?
Diky.

vanok · 16. 10. 2011 15:12

Ahoj ↑ Phate:,

Neda sa vyuzit ze
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}{(\sin x)}=1$ ?

Srdecne Vanok

Phate · 16. 10. 2011 15:15

↑ vanok:
To je urcite pravda, ale nejak nevidim, na co zrovna narazis. V tom exponentu toho e-cka se kterym nemuzu bez lhospitala hnout je vyraz tvaru $\frac00$ kdyz dosadim za x $\frac{\pi}2$

vanok · 16. 10. 2011 15:51 — Editoval vanok (16. 10. 2011 15:52)

↑ Phate:

urcite to nie je $\frac00$

Phate · 16. 10. 2011 16:03 — Editoval Phate (16. 10. 2011 16:03)

↑ vanok:
tak mam $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos x}=\frac{1-1}{0}=\frac00$ nebo ne?

vanok · 16. 10. 2011 16:17 — Editoval vanok (17. 10. 2011 13:16)

↑ Phate:

Aha ty pozeras na upravene formy.

A ja na tu prvu

mocniny okolo nuly su co?

a tak na co si komplikovat zivot?

Vratim sa vecer, napis tu zatial co si urobil

PRIDAVOK O 23 00, 16/10/2011

Moja myslienka je sa dat najprv do okolia nuly vdaka substitucii $h = \pi/2 -x$
Ta tvoja otazka sa premeni na $\lim_{x \to 0}{(\cos x)^{\frac 1{\tan x}}}$
Ak pouzijes tieto dve lahko dokazatelne limity
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1- \frac{x^2}{2}}=1$
$\lim_{x \to 0} \frac{{(1- \frac{x^2}2})^{\frac 1{tan(x)}}}{1-\frac x {2\tan(x)}}=$
lahko dojdes k vysledku

Srdecne Vanok

Phate · 16. 10. 2011 16:21

↑ vanok:
Promin, ale jsem z tech tvych rad fakt dost zmatenej, jaky mocniny jednicky? V exponentu nam vychazi nekonecno, kdyz x jde k pi/2, takze mame neurcitost $1^{\infty}$ nebo na co ted narazis?

jelena · 16. 10. 2011 20:27

↑ Phate:

Zdravím,

proč jste neuvažovali přepis na $e^{\rm{tg}x\cdot \ln (\sin x)}$ ? V tomto případě sice musím rozebrat pi/2 zleva a zprava, ale vychází mi v exponentě "nekonečno"*0 (což by mělo být 0).

Nevím, jestli jsem něco nepřehlédla (nebo zda něco nenabízí oblíbený autor s kolektivem - hledáno v MatWiki na klíčové slovo Rychlokurz).

Phate · 16. 10. 2011 20:30

↑ jelena:
hm tezko rici, v napovede jsme meli prevest to na tu e-ckovou limitu, toto taky nevypada zle.

Takze rikas, ze znaleckym okem z toho bez lhospitala vybruslit nejde?

jelena · 16. 10. 2011 20:33

↑ Phate:

jak se vybrusluje okem? Touto cestou bych nemusela používat l´Hospital.

e-kova limita se rozumí "2. pozoruhodná"?

Phate · 16. 10. 2011 20:44

↑ jelena:
ano :)

halogan · 16. 10. 2011 20:57

Dobrý večer přeji,

předem se omlouvám, nemám po ruce papír, takže neručím za správnost, beru to nějak po paměti.

Po úpravě na limitu s exp bych použil jednu z pozoruhodných limit (tu s logaritmem) a dostal se postupně až na tebou zmíněné (bez exp, ať to mám stručnější):

$\text{tg} x \cdot $\sin x - 1$ = \frac{-\sin x (1-\sin x)}{\cos x}$

Všimni si dvou věcí:

1) K úpravě jsem se dostal bez nutnosti "odhadovat" funkci ve tvaru y + 1/y, ale za pomocí standardních postupů. To není výtka, jen to může občas pomoci, ve chvilkách nesnází.

2) Schválně jsem neroznásobil závorku v čitateli, protože teď již snad vidíš, jak se úloha dopočítá. Stačí rozšířit jmenovatelem a výsledek je na světě. Nezapomeň na to, že funkce * (funkce s limitou nula) nemusí být vždy nula, ale je třeba to trochu okomentovat (případně to upravíš jako (1/2) sin 2x a nemusíš řešit tuto poznámku).

Zdravím.

Phate · 16. 10. 2011 21:19 — Editoval Phate (16. 10. 2011 21:19)

↑ halogan:
Ahoj, mam par otazek:

...bych použil jednu z pozoruhodných limit (tu s logaritmem)...

myslis $x=e^{\ln x}$ nebo $\lim_{x \to 0}{\frac{ln x+1}{x}}=1$ nebo nejakou jinou?

Stačí rozšířit jmenovatelem a výsledek je na světě

Vysledek tak vyjde, ale je to evivalentni uprava, kdyz rozsirim vyrazem, kterej je v podstate nula?

halogan · 16. 10. 2011 21:31

↑ Phate:

Ahoj,

1) ad limita: myslím to druhé, to první ani není limita, jen přepis výrazu (který platí jen někdy, pozor na to).

2) ad rozšíření: "v podstatě" v matematice neplatí :-) My řešíme limitu na prstencovém okolí pí/2, a tam nikde cos x nulový není.

Phate · 16. 10. 2011 21:43

↑ halogan:
Asi uz je na me moc pozde, ale jak se uplatni $\lim_{x \to 0}{\frac{\ln x+1}{x}}=1$ v $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}{(\sin x)^{\tan x}}$ ?
Jinak zatim smele vstrebavam jen se roji otazky, diky moc za pomoc :)

halogan · 16. 10. 2011 21:48

Řešíme limitu (exp opět neuvádím, to se ošetří bokem):

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \text{tan}\,x \log \sin x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \text{tan}\,x \cdot $\sin x - 1$ \cdot \frac{\log \sin x}{\sin x - 1}$ ,

kde ten zlomek na konci vyhodíme přes aritmetiku limit. Dále jej zpracujeme pomocí pozoruhodné limity + věty o limitě složené funkce.

---

Nevím, na jaké jsi škole, tak nevím jak výrazně mám zacházet do detailů, jak moc si mohu dovolit opomíjet věci a tak.

Phate · 16. 10. 2011 22:00

↑ halogan:
Studuju aplikovanou matematiku a chodil jsem dost dobry matematicky gympl, takze toho vstrebam celkem dost, jen limity na stredni u nas byly jen s jednou tou "pozoruhodnou" limitou a to $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$ a pak ta uprava $x=e^{\ln x}$ a vetsina uprav byly upravy z nedef. vyrazu na tvar $\frac00$ nebo $\frac{\infty}{\infty}$ a pak lhospitalovat dokud nepojdem hladem, takze tohle hledani tech pozoruhodnych limit ve vsem je pro me trochu nove.

halogan · 16. 10. 2011 22:03

↑ Phate:

O tvých znalostech pochybnosti nemám, přeci jen tvé odpovědi zde čtu. Šlo mi spíše o to, co je od vás vyžadováno a na co bych měl upozornit. Takovou limitu lze spočítat na půl řádku, ale taky na půl strany :-)

Phate · 16. 10. 2011 22:09

↑ halogan:
Spis mi jde o to, jestli v tom hledat donekonecna nejakou silenou upravu a nebo proste pouzit toho lhospitala, kterej to vyresi jednim krokem, ale to pouziti tech pozoruhodnych limit se mi velmi libi. Oznacim za vyresene a diky za reakce.

halogan · 16. 10. 2011 22:19

↑ Phate:

Promiň mi narušení vyřešeného tématu, jen musím něco dodat:

Ono to není tak snadné, nelze prostě na zlomek hodit L'Hospitala, usmát se a dopočítat to. I L'H má určité předpoklady, které nejen že jsou občas obtížné na kontrolu, ale často jsou i nesplněné.

Pokud si na tabulkové limity zvykneš, tak už ty úpravy uvidíš v hlavě, ono to je docela intuitivní. Uvedu příklad:

Máme ty limity, kde sinx/x, tgx/x, arctg/x, logx/(x-1), (1-cosx)/x^2 + jejich inverze, jdou všechno někde k jedničce/jedné polovině nebo tak něco. Můžeš si tedy říci, že limitně kolem nuly se sinx "chová" jako x, stejně tak se x^2/2 chová jako 1-cosx atp. V hlavě si tedy tyto výrazy začneš nahrazovat, a hned se to začne rýsovat.

Popsat to vše formálně beru jako samozřejmost.

Podobné hlavoúpravy pak jdou aplikovat třeba u řad.

jelena · 17. 10. 2011 13:06

↑ vanok:

děkuji za přidaný postup :-) ještě je dobré sdělit, že je přidán.

↑ Ondřej:

děkuji :-) teď jsem zjistila, že je to Demidovič č. 523 (tedy jen pro vyvolené), ↑ můj postup: by skutečně byl na půlřadku (ale bez l´Hospital).

---------------------------------------
Ale s hledáním na MatWiki by se něco podniknout mělo - a umístit Rychlokurz na stránku VŠ (a když už budete u toho, tak UJČ má upravu adresy - také prosím opravit do slovníku), mně se ještě teď třepe ruka po opravě příspěvku váženého Moderátora :-)

Děkuji a zdar přeji.

vanok · 17. 10. 2011 13:17

Ahoj ↑ jelena:,
Dakujem za upozornenie, pripisal som jasne do mojej zpravy kedy to bolo priadane
Srdecne Vanok

jelena · 17. 10. 2011 13:23

↑ vanok:

:-) děkuji, zaznamenala jsem to (jsem místní uklizečka - o co zakopnu, na to upozorním).

Také hezký pozdrav.

Jelena

vanok · 17. 10. 2011 13:27

Ahoj Phate
Este mala otazka.
Pises

Phate napsal(a):
takze jsem se $\sin x$ snazil upravit do tvaru $y+\frac1y$ , coz se mi take povedlo, vyslo mi, ze $y=\frac1{1- \sin x}$ , .

Mozes to dokazat?
Dakujem

Srdecne vanok

Matematické Fórum

#1 16. 10. 2011 14:36

Limita

#2 16. 10. 2011 15:12

Re: Limita

#3 16. 10. 2011 15:15

Re: Limita

#4 16. 10. 2011 15:51 — Editoval vanok (16. 10. 2011 15:52)

Re: Limita

#5 16. 10. 2011 16:03 — Editoval Phate (16. 10. 2011 16:03)

Re: Limita

#6 16. 10. 2011 16:17 — Editoval vanok (17. 10. 2011 13:16)

Re: Limita

#7 16. 10. 2011 16:21

Re: Limita

#8 16. 10. 2011 20:27

Re: Limita

#9 16. 10. 2011 20:30

Re: Limita

#10 16. 10. 2011 20:33

Re: Limita

#11 16. 10. 2011 20:44

Re: Limita

#12 16. 10. 2011 20:57

Re: Limita

#13 16. 10. 2011 21:19 — Editoval Phate (16. 10. 2011 21:19)

Re: Limita

#14 16. 10. 2011 21:31

Re: Limita

#15 16. 10. 2011 21:43

Re: Limita

#16 16. 10. 2011 21:48

Re: Limita

#17 16. 10. 2011 22:00

Re: Limita

#18 16. 10. 2011 22:03

Re: Limita

#19 16. 10. 2011 22:09

Re: Limita

#20 16. 10. 2011 22:19

Re: Limita

#21 17. 10. 2011 13:06

Re: Limita

#22 17. 10. 2011 13:17

Re: Limita

#23 17. 10. 2011 13:23

Re: Limita

#24 17. 10. 2011 13:27

Re: Limita

Phate napsal(a):

Zápatí