Matematické Fórum

zuzule · 17. 10. 2011 21:26

Ahoj nevím jak dojít k výsledku po úpravě tohoto příkladu nebo jestli tam dělám nějakou chybu.
Zadání: Najděte řešení homogení diferenciání rovnice
$(t+y)dt-(t-y)dy=0$
$(t+y)dt=(t-y)dy$
$\frac{t+y}{t-y}=\frac{dy}{dt}$
$y^\prime=\frac{1+\frac{y}{t}}{1-\frac{y}{t}}$

Substituce:
$z=\frac{y}{t}=> y=zt$
$y^\prime=z^{\prime}t+z$

Po dosazení dostanu:
$z^{\prime}t+z=\frac{1+z}{1-z}$
$z^{\prime}t=\frac{y^2+1}{1-y}$
$tdz=\frac{y^2+1}{1-y}dt$
$\int\frac{1-z}{y^2+1}dz=\int\frac{dt}{t}$
$arctg(z)-\frac{1}{2}ln|z^2+1|=ln|t|+ln|C|$
$arctg(\frac{y}{t})=ln|t|+\frac{1}{2}ln|\frac{y^2}{t^2}+1|+ln|C|$
$arctg(\frac{y}{t})=\frac{1}{2}ln|\frac{y^2}{t}+t|+ln|C|$
$arctg(\frac{y}{t})=ln\sqrt{\frac{y^2}{t}+{t}}+C$

A vvýsledek by měl být $arctg(\frac{y}{t})=ln\sqrt{y^2+t^2}+C$

Díky za radu, popřípadě najití chyby co jsem udělala špatně. :-)

vanok · 17. 10. 2011 21:40 — Editoval vanok (17. 10. 2011 21:40)

Ahoj ↑ zuzule:,
Tieto dva vyrazy nie su equivaletne

$arctg(\frac{y}{t})=ln|t|+\frac{1}{2}ln|\frac{y^2}{t^2}+1|+ln|C|$
$arctg(\frac{y}{t})=\frac{1}{2}ln|\frac{y^2}{t}+t|+ln|C|$

Srdecne Vanok

zuzule · 18. 10. 2011 09:33

Aha. Mno já jsem to brala tak, že sčítání logaritmů ja vlastně násobení, takže moje myšlenka byla špatně. A můžu poprosit o úpravu, abych se dotala k výsledku? Nějak totiž nevím jak jinak to poupravit. Díky

vanok · 18. 10. 2011 09:49

Ahoj ↑ zuzule:,
$ln|t|=\frac12 ln (t^2))$
Zazracne ze.

Srdecne Vanok

zuzule · 18. 10. 2011 10:14

Krása a můžu vědět jak na tohle příjdu, že to mám zrovna takhle nějak poupravit?
Pokud jsem tohle dobře pochopila tak v té rovnici místo $ln|t|$ napíši $\frac12 ln (t^2)$ potom tu $\frac12$ napíšu jako exponent
$arctg(\frac{y}{t})=ln|t|^{\frac12}+ln|\frac{y^2}{t^2}|^{\frac12}+ln|C|$ potom to odlogaritmuju a dám na společnýho jmenovatele
$arctg(\frac{y}{t})=\frac{(t^4)^{\frac12}+(y^2+t^2)^{\frac12}}{t^2}$
$arctg\frac{y}{t}=\frac{(t^4+y^2+t^2)^{\frac12}}{t^2}$ a pak už jen vytknu $t^2$ a $\frac12$ na píši jako odmocinu.

vanok · 18. 10. 2011 10:23

↑ zuzule:
To si ozaj unavena dnes
Dufam ze si nepracovala celu noc

$ln|t|+\frac12ln|\frac{y^2}{t^2}+1|=\frac12 ln (t^2)+\frac12ln|\frac{y^2}{t^2}+1|=\frac12$ln (t^2)+ln|\frac{y^2}{t^2}+1|$$

Mala otazka :preco nechavas absolutne hodnoty na vyrazoch co su positivne??

Vanok

zuzule · 18. 10. 2011 11:07

Mno unavená ani nejsem spíš zmatená :-D. Absolutní hodnotu tam nechávám ze zvyku. Asi už vím, co stím dál něco jako toto:
$(ln(t^2(\frac{y^2}{t^2}+1)))^{\frac12}=(ln(\frac{t^2(y^2+1)}{t^2}))^{\frac12}=\sqrt{y^2+t^2}$
A chcu se ještě zeptat jak příjdu na to, že místo $ln|t|$ mám psát $\frac12ln|t^2|$ ?
Jinak moc děkuju za pomoc :-)

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2011 21:26

Homogení diferenciální rovnice

#2 17. 10. 2011 21:40 — Editoval vanok (17. 10. 2011 21:40)

Re: Homogení diferenciální rovnice

#3 18. 10. 2011 09:33

Re: Homogení diferenciální rovnice

#4 18. 10. 2011 09:49

Re: Homogení diferenciální rovnice

#5 18. 10. 2011 10:14

Re: Homogení diferenciální rovnice

#6 18. 10. 2011 10:23

Re: Homogení diferenciální rovnice

#7 18. 10. 2011 11:07

Re: Homogení diferenciální rovnice

Zápatí