Matematické Fórum

Hnykda · 18. 10. 2011 21:12 — Editoval Hnykda (18. 10. 2011 21:31)

Ahoj,

mám za úkol sestavit všechny kvadr. rce aniž bych danou rci řešil, jejichž kořeny jsou:

A) 3x větší než kořeny původní rce
B) o tři větší než kořeny původní rce

Rovnice je:
$5x^2+8x+5=0$

mám za to, že bych měl vycházet z pravidel:

$x_1+x_2=\frac{-a}{b}$

$x_1*x_2=\frac{c}{a}$

Ale když to zkouším, dostanu se na nějaký patvar který asi není správně...

$(x_1+x_2)=\frac{-b}{3a}$

můžu dostat radu? :) Navíc nevím co s tím, není mi ani úplně jasná ta teorie.

((:-)) · 18. 10. 2011 21:25 — Editoval ((:-)) (18. 10. 2011 21:31)

↑ Hnykda:

Takto?

$5x^2+8x+5=0$ ?

Alebo -5?

Aké je to zadanie?

Všeobecne:

Rovnicu by som upravila na tvar, ktorý sa začína $x^2$ .

Potom priamo vidíš č í s l a, ktorým sa rovná $x_1x_2$ a $x_1 + x_2$

Ty len dosadíš, že Tvoja rovnica má mať korene napríklad $3x_1$ a $3x_2$ ...

Hnykda · 18. 10. 2011 21:30 — Editoval Hnykda (18. 10. 2011 21:38)

Ano, pardon, vypadlo mi to (opraveno v zadání). To je rovnice ze které mám brát ty kořeny a vytvořit jiné dle těch otázek.

Vydělit rovnici aby mi zůstalo u x^2 jen 1 je určitě správně, děkuji. Ale pak bohužel stejně nevím co dál.

Pokud mají být kořeny 3x větší, tak mě to vede k tomu původnímu

$(x_1+x_2)=\frac{-b}{3a}$

a po dosazení:

$(x_1+x_2)=-\frac{\frac{8}{5}}{3}$

((:-)) · 18. 10. 2011 21:34 — Editoval ((:-)) (18. 10. 2011 21:43)

↑ Hnykda:

$5x^2+8x+5=0$

1. Uprav na tvar, ktorý sa začína $x^2$

2. Zapíš, čomu sa rovná $x_1x_2$ a $x_1 + x_2$ ... sú to čísla, ktoré nájdeš v upravenej rovnici.

3. Potom zapíš, ako majú vyzerať korene novej rovnice $x_1'$ a $x_2'$

4. Vypočítaj nové čísla $x_1'x_2'$ a $x_1' + x_2'$

5. Zapíš novú kvadratickú rovnicu.

Všetky jej nenulové násobky majú rovnaké korene ako ona.

$x^2+1,6x+1=0$

$x_1x_2 = 1$ a $x_1 + x_2=-1,6$

Hnykda · 18. 10. 2011 21:39 — Editoval Hnykda (18. 10. 2011 21:45)

Já ale nevím jak to z toho vyjádřit, resp. jak zapsat ty "všechny rovnice". Takhle mám rci o dvou neznámých:

$(x_1+x_2)=-\frac{\frac{8}{5}}{3}$

Edit: Jo, už to možná chápu, hned to bude.

Edit2: Omlouvám se, stále nevím co s tím. Tyhle dvě rovnice mám, ale teď bloudím v tom čemu se mají rovnat ty nové kořeny.

Zkouším podle toho vzorečku co tu furt omílám dosadit:

$(x'_1+x'_2)=\frac{-8}{15}$

tedy že a=15 a b=8, ale to není správně.

((:-)) · 18. 10. 2011 21:50 — Editoval ((:-)) (18. 10. 2011 23:25)

↑ Hnykda:

Keby si sledoval, čo Ti hovorím, dávno to máš urobené.

Hľadáš tú novú rovnicu. Aj pre ňu platia tie Vietove vzťahy - že súčin jej koreňov je absolútny člen a súčet jej koreňov je opačné číslo k číslu pri x.

Z pôvodnej rovnice:

$x^2+1,6x+1=0$

$\color{magenta}x_1x_2 = 1$ $\color{magenta}x_1 + x_2=-1,6$

Miesto $x_1x_2$ teraz napíšeš $3x_1\cdot 3 x_2$ , pričom tento súčin vyjadríš využitím známeho (už) vzťahu pre $x_1x_2$ . To bude absolútny člen novej rovnice.

Podobne miesto $x_1 + x_2$ napíšeš $3x_1 + 3x_2$ , a upravíš tak, aby si mohol využiť vzťah, ktorý platí pre $x_1 + x_2$ . To bude číslo opačnék číslu pri x v novej rovnici.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Keď túto novú rovnicu vynásobíš nenulovým číslom, výsledná rovnica bude mať rovnaké riešenie ako táto nevynásobená.

Hnykda · 18. 10. 2011 22:02 — Editoval Hnykda (18. 10. 2011 22:07)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tak už je mi to jasné, díky moc, dobrou noc

((:-)) · 18. 10. 2011 22:08

↑ Hnykda:

Nie.

Pôvodné korene sú $x_1$ a $x_2$

Pre ne platí $x_1\cdot x_2 = 1$

Pre nové korene platí $3x_1\cdot 3x_2 = 9\cdot x_1x_2 = 9\cdot 1 = 9$ . To je absolútny člen v novej rovnici.