Matematické Fórum

petercz · 19. 10. 2011 20:45

Ahoj, potřeboval bych prosím poradit s kvad. rovnicí (a-2)*x2-(a2-2a+2)*x+2a=0
"a" je parametr z R

dostal jsem se jen k tomu že pro a=2 je kořen x=2, a teď mi nějak nejde vyřešim pro "a se nerovná 2"

mikl3 · 19. 10. 2011 20:50

↑ petercz: vlož si parametry (koeficienty u členu kvadratického, lineárního a člen absolutní) do vzorce pro výpočet kořenů kv. rovnice (je dobré napsat si člen b jako druhou mocninu dvojčlenu) a podle toho usuď, jakých výsledků bude rovnice, když x se nerovná 2

petercz · 19. 10. 2011 21:08

o to jsem se už právě pokoušel, ale pořád mi kořeny vychází uplně nesmyslně...
podle výsledků má vyjít x1=a, x2=2/a-2

mikl3 · 19. 10. 2011 21:16

↑ petercz: šoupni sem prosím tvé postupy a já se na ně podívám

petercz · 19. 10. 2011 21:32

nemám to jak vložit, tak to zkusím napsat
x1,2=-b+-odmocnina D /2a
takže x1,2=a2-2a+2 +-odmoc. (-a2+2a-2)2 - 4*(a-2)*2a /2a-4

případně ve druhé mocnině x1,2=a4-4a2+4 +-(-a2+2a-2)2 - 4*(a-2)*2a /4a2-16

a mě stoho pořád vychází kořeny s a4 atd...

((:-)) · 19. 10. 2011 21:42

↑ petercz:

Ahoj.

Zadanie vyzerá takto?

$(a-2)\cdot x^2-(a^2-2a+2)\cdot x+2a=0$

petercz · 19. 10. 2011 21:46

ano takto

mikl3 · 19. 10. 2011 21:47

↑ petercz: co znamená ve druhé mocnině?

mikl3 · 19. 10. 2011 21:48 — Editoval mikl3 (19. 10. 2011 21:51)

↑ ((:-)): $(a-2)\cdot x^2-(a^2-2a+2)\cdot x+2a=0$
$x_{1,2}=\frac{a^2-2a+2\pm \sqrt{(a^2-2a+2)^2-8a(a-2)}}{2(a-2)}$ s tímhle souhlasím

petercz

myslel jsem že bych se tak zbavil té odmocniny, no asi nesmyls...
a dál mi to s tohodle zápisu nějak nejde

mikl3 · 19. 10. 2011 21:52 — Editoval mikl3 (19. 10. 2011 21:56)

↑ petercz: té odmocniny se takhle nezbavíš, navíc jsi neumocnil levou stranu rovnice, pravou špatně, protože umocňuješ třeba trojčlen na druhou, a ty jsi ho umocnil jako součin třech členů, zkus se zabývat dále tímto
$x_{1,2}=\frac{a^2-2a+2\pm \sqrt{(a^2-2a+2)^2-8a(a-2)}}{2(a-2)}$
a nezapomeň závorky umocňovat podle vzorců

((:-)) · 19. 10. 2011 21:59 — Editoval ((:-)) (19. 10. 2011 22:18)

↑ petercz:

Vydelila by som zátvorkou (a-2), ktorá je určite rôzna od 0.

Nová rovnica:

$x^2 - \frac{a^2-2a+2}{a-2}\cdot x+\frac{2a}{a-2}=0$

Odtiaľ podľa Vietových vzťahov platí:

$x_1\cdot x_2 = \frac {2a}{a-2}$ a tiež $x_1 + x_2 = +\frac {a^2-2a+2}{a-2}$

Po vydelení čitateľa menovateľom vo vzťahu pre súčet koreňov dostaneme

$\color{red}x_1 + x_2 \color{black} = \frac {a^2-2a+2}{a-2}=(a^2-2a+2):(a-2) = \color{red}a+\frac {2}{a-2}$

Po uvážení, že $\color{red}x_1\cdot x_2\color{black}= \frac {2a}{a-2} = \color{red}a\cdot \frac {2}{a-2}$ je vidno, že

$\color{blue}x_1 = a$ a $\color{blue}x_2 = \frac {2}{a-2}$