Matematické Fórum

Anna.Newton · 17. 10. 2011 21:49

Zdravím. Chtěla bych Vás poprosit o vysvětlení následujících jevů:
Když položím nějaké stejnorodé těleso ve tvaru kvádru o rozměrech třeba 2cm x 3cm x 4cm na vodní hladinu a bude mít menší hustotu než voda- bude tedy části vynořeno a části pod vodní hladinou. Dojde vždy k tomu, že se změní jeho poloha, aby leželo na ploše o největším obsahu? I když to budou rozdíly několika málo milimetrů čtverečních? Proč to tak je? A na čem je to tak závislé? Je to kvůli stability a těžiště?

A co kdyby takovým tělesem byl kanystr tvaru kvádru o rozměrech dna 20 cm x 25 cm, objemu přibližně 15 litrů a o hmotnosti 0,50 kg, v němž je neprodyšně uzavřen zbytek oleje o hmotnosti 2,5 kg?
Co by se stalo? Jak by se položil na vodní hladinu? Je mi jasné, že bude částí vynořen a části pod hladinou, to jsem počítala a bez problému... Jen kterou plochou bude ve vodě?

A ještě prosím- jaký je rozdíl mezi plováním a plaváním tělesa? Kdy dojde k tomu, že těleso je části vynořené a Fvz=Fg?
Mockrát děkuji :)

medvidek · 18. 10. 2011 14:35

↑ Anna.Newton:

Dojde vždy k tomu, že se změní jeho poloha, aby leželo na ploše o největším obsahu?

Vždy ne. Potenciální energie soustavy je závislá na natočení tělesa a její velikost může mít více lokálních extrémů (minim). Každá z poloh odpovídajícíh lokálnímu minimu potenciální energie bude rovnovážná stabilní. Problémem tedy je zjistit průběh potenciální energie vzhledem k úhlům natočení tělesa. Pokud bychom uvažovali dynamiku systému vyplývající např. z případné nestabilní počáteční polohy, bylo by vše mnohem složitější.

A ještě prosím- jaký je rozdíl mezi plováním a plaváním tělesa?

Neříkáme "plavoucí" ale "plovoucí" (těleso, člověk, loď, podlaha). A místo "plovat" bychom správně měli "plavat".
V Českém národním korpusu jsem našel pouze dva výskyty slova "plovat", v pravidlech žádný. V minulosti mohlo být spisovné. Třeba někdo jiný řekne víc.

Kdy dojde k tomu, že těleso je části vynořené a Fvz=Fg?

Když je hustota tělesa menší než vody, bude vynořena právě taková část tělesa nad hladinu, při které platí rovnost těchto sil.

Anna.Newton · 18. 10. 2011 14:55

Aha, já hlavně řeším tu plochu jedné stěny, kterou se ponoří, protože potřebuji určit do jaké hloubky se těleso ponořilo- podílem objemu ponořené části a oné plochy... Jinak by to asi nešlo, když znám pouhý objem z rozměrů jeho stran, hustotu a samozřejmě hustotu vody?
Já pak počítala ponořenou část rovností V,/V=pt/pk (objem ponořené části tělesa ku objemu celého tělesa je roven poměru hustoty tělesa ku hustotě kapaliny).
Dále jsem se ještě chtěla zeptat- když těleso bude části vynořené a části pod vodou, určuje se o kolik hladina vody stoupla z ponořené části tělesa nebo tělesa celého?

medvidek · 18. 10. 2011 17:14

↑ Anna.Newton:
Vztah $\frac{V_{ponor}}{V_{celk}}=\frac{\rho_t}{\rho_k}$ je v pořádku. Je přímým důsledkem rovnosti $F_{vz}=F_g$ .

Pouze ponořená část tělesa se podílí na stoupnutí hladiny.

Anna.Newton · 19. 10. 2011 14:58

Dobře, děkuji.
A nevíte tedy, jak by se určila ta poloha kanystru s olejem při ponoření do vody, abych mohla vypočítat onu hloubku ponoření?

medvidek

↑ Anna.Newton:
Podíl objemu ponořené části kanystru lze i v případě částečného naplnění vypočítat ze vztahu $\frac{V_{ponor}}{V_{celk}}=\frac{\rho_t}{\rho_k}$ ,
kde
$V_{celk}$ je vnější objem kanystru,
$\rho_k$ je hustota kapaliny (vody),
$\rho_t$ je průměrná hustota tělesa (částečně naplněného kanystru).

Průměrná hustota $\rho_t=\frac{m_{celk}}{V_{celk}}$ , kde $m_{celk}$ je hmotnost kanystru s olejem. Po dosazení do vztahu výše dostaneme
$V_{ponor}=\frac{m_{celk}}{\rho_k}$ .

Objem ponořené části kanystru nezávisí na úhlu jeho natočení.

EDIT:
Lze tedy zvolit jakoukoli polohu a k ní dopočítat hloubku ponoru.

Anna.Newton · 19. 10. 2011 17:30

Ano, to chápu, tento objem určit dovedu. Jen hloubka (délka) ponořené části tělesa bude záležet na tom natočení.
A abych to z toho objemu ponořené části mohla zjistit, vydělím ho délkou a šířkou kanystru= plochou, kterou je ponořen
Ale jak se ponoří?
Je to kvádr o rozměrech dna 20 cm x 25 cm (2dm; 2,5dm), objemu přibližně 15 litrů=15dm^3. Pak tedy bude jeho výška 15dm^3/2dm/2,5dm=3dm.
Převrátí se a bude pod hladinou největší stěnou o rozměrech 3dm a 2,5dm? Má na to nějak vliv olej uvnitř?
Potom bych jen jednoduše dopočítala z objemu ponořené části a těchto rozměrů tu hloubku?

medvidek

↑ Anna.Newton:
Jak jsem naznačil v příspěvku #2, problémem je zjistit průběh potenciální energie vzhledem k úhlům natočení tělesa, ale jeví se mi to početně dost pracné.

Alternativní možností zjišťování stability plovoucího tělesa je výpočet momentu sil působících na těleso, opět v závislosti na ůhlech natočení. Gravitační síla působí směrem dolů v těžišti tělesa, zatím co vztlaková síla působí v "geometrickém" těžišti ponořené části tělesa směrem nahoru. Když jsou působiště těchto dvou sil nad sebou, výsledný moment je nulový, těleso je v rovnovážné poloze. Výpočet momentů by byl opět velmi zdlouhavý, zejména když má těleso kapalný obsah.

Pro bližší představu si lze přečíst článek Ponor a rovnováha plavajících těles. V článku The Stability of Floating Bodies je zmíněno i těleso s kapalným obsahem.

Zda se kanistr převrátí, určitě závisí na množství oleje uvnitř. Dovedu si například představit, že v případě malého množství oleje bude existovat více rovnovážných poloh. Dopočítat hloubku ponoru je triviální pouze v případech, kdy jsou stěny kanistru vodorovné resp. svislé. Ale obávám se, že rovnovážné polohy vůbec nemusí takové být.

Anna.Newton · 20. 10. 2011 16:24

Děkuji, tak snad to nějak díky tomu vykutím :)

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2011 21:49

Archimédův zákon, těleso ve vodě

#2 18. 10. 2011 14:35

Re: Archimédův zákon, těleso ve vodě

#3 18. 10. 2011 14:55

Re: Archimédův zákon, těleso ve vodě

#4 18. 10. 2011 17:14

Re: Archimédův zákon, těleso ve vodě

#5 19. 10. 2011 14:58

Re: Archimédův zákon, těleso ve vodě

#6 19. 10. 2011 17:15 — Editoval medvidek (19. 10. 2011 17:25)

Re: Archimédův zákon, těleso ve vodě

#7 19. 10. 2011 17:30

Re: Archimédův zákon, těleso ve vodě

#8 19. 10. 2011 23:23 — Editoval medvidek (19. 10. 2011 23:29)

Re: Archimédův zákon, těleso ve vodě

#9 20. 10. 2011 16:24

Re: Archimédův zákon, těleso ve vodě

Zápatí