Matematické Fórum

lolly.sweet · 21. 10. 2011 09:42

Prosím o radu jak na tenhle příklad. Vůbec tomu nerozumím...díky.

Ověřte, zda množina tvoří podprostor v prostoru Pol<=4. Pokud ano, nalezněte nějakou bázi daného podprostoru
a určete jeho dimenzi.
S = {P(x) ∈ Pol·4, P(x) = P(−x)}.

OiBobik

↑ lolly.sweet:

Ahoj,

čemu nerozumíš? (z toho, že napíšeš zadání, to není poznat)

1) Rozumíš tomu, co představuje množina S ("jaké" polynomy to jsou)?

2) Víš, co je to podprostor vektorového prostoru a co jeho báze?

3) Víš, jak ověřit, zda S je podprostorem Pol(4) (což je, předpokládám, množina (reálných?) polynomů stupně 4)?

Díky za odpovědi.

lolly.sweet · 21. 10. 2011 09:58

↑ OiBobik:

no když kouknu do skript tak to nejak chapu, ale pak to moc neumim použivat....ale v čem fakt si nevím rady je nalezení té báze (vím co to je, ale nwm jak to mám podle tohoto zadaní najít) a určení dimenze ,..,

OiBobik · 21. 10. 2011 10:05

↑ lolly.sweet:

Tak to sem zkus napsat (alespoň definice), třeba ti to pomůže si to trochu srovnat. ; ))

lolly.sweet · 21. 10. 2011 10:18

↑ OiBobik:

no jasný,,,,už trochu vím.... S - podprostor (je uzavřená na sčítání a číselné násobky)...no a ted tu bazi..je mi jasný že tam musí být x^4, protože mám polynom stupně 4...dimenze je potom podle toho kolik budu mit prvku v bázi...no ale jak zjistim tu bazi? hledam ctu a nic nikde nevidim...

lolly.sweet · 21. 10. 2011 10:19

↑ lolly.sweet:

klidně by báze mohla být (1, x, x^2, x^3, x^4)

OiBobik

↑ lolly.sweet:

Aha, pozor.

Jestli chápu správně, povedlo se ti ověřit, že S je podprostor. To je pravda.

Ale co je to ta množina Pol(4):

Pol(4) není množina polynomů stupně právě čtyři, protože to by nebyl vektorový prostor:

uvažme polynomy
$P_1(x)&=x^4+5 \\ P_2(x)&=x^4+x^2+3, \\ P_1(x)&,P_2(x) \text{ jsou stupně právě 4}$

pak ale $P_1(x)-P_2(x)$ je polynom stupně 2, tedy množina polynomů stupně právě 4 není uzavřená na operace.

Množinou Pol(4) se tedy myslí množina polynomů stupně nejvýše 4, ta už tvoří vektorový prostor (dodefinujeme-li stupeň nulového polynomu nějakým hezkým číslem, třeba -1).

K hledání té báze: spíš by stálo za to se zamyslet, jaké funkce obsahuje množina S. Je třeba polynom $x^3+1$ v S? a co $x^3$ ? a co $x^2$ a co třeba nulový polynom (tj. $P(x)=0$ )?

lolly.sweet · 21. 10. 2011 10:35

↑ OiBobik:

ted nemam ani paru

OiBobik

nebo ještě jinak: využijeme toho, že bázi podprostoru můžeme vybrat z libovolné báze celého prostoru jako její podmnožinu. množina $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$ je bází prostoru Pol(4). Které z jejích prvků náleží S?

lolly.sweet · 21. 10. 2011 11:56

↑ OiBobik:

no nevím,..,jak to mám zjistit?

OiBobik · 21. 10. 2011 11:59

↑ lolly.sweet:

z definice množiny S ; )) rozumíš tomuto zápisu? "S = {P(x) ∈ Pol·4, P(x) = P(−x)}"

lolly.sweet · 21. 10. 2011 12:12

↑ OiBobik:

jo

OiBobik · 21. 10. 2011 12:21

↑ lolly.sweet:

No tak jednoduše ověříš, které z polynomů $1,x,x^2,x^3,x^4$ splňují podmínku "P(x)=P(-x)" (pro každé x z R). ; ))

lolly.sweet · 21. 10. 2011 21:59

↑ OiBobik:

x^2 a x^4

OiBobik · 21. 10. 2011 22:04

↑ lolly.sweet:

No, fajn - zapomnělas ještě 1, neboť konstantní funkce dává všem x stejnou hodnotu, tedy rovnost výše zřejmě platí.

Tedy tebou navrhovaná množina $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$ bází toho podprostoru nebude, neboť ani všechny její vektory v podprostoru S neleží.
Co tedy bude ta báze a jaká bude potom dimenze podprostoru S?

lolly.sweet · 21. 10. 2011 23:37

↑ OiBobik:
no jen (1, x^2, x^4) ... a dimenze=3

OiBobik · 22. 10. 2011 09:08

↑ lolly.sweet:

Ano, to je správně.

lolly.sweet · 22. 10. 2011 13:31

↑ OiBobik:

diky :)

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2011 09:42

Lineární podprostory

#2 21. 10. 2011 09:50 — Editoval OiBobik (21. 10. 2011 09:50)

Re: Lineární podprostory

#3 21. 10. 2011 09:58

Re: Lineární podprostory

#4 21. 10. 2011 10:05

Re: Lineární podprostory

#5 21. 10. 2011 10:18

Re: Lineární podprostory

#6 21. 10. 2011 10:19

Re: Lineární podprostory

#7 21. 10. 2011 10:31 — Editoval OiBobik (21. 10. 2011 10:38)

Re: Lineární podprostory

#8 21. 10. 2011 10:35

Re: Lineární podprostory

#9 21. 10. 2011 10:38 — Editoval OiBobik (21. 10. 2011 13:04)

Re: Lineární podprostory

#10 21. 10. 2011 11:56

Re: Lineární podprostory

#11 21. 10. 2011 11:59

Re: Lineární podprostory

#12 21. 10. 2011 12:12

Re: Lineární podprostory

#13 21. 10. 2011 12:21

Re: Lineární podprostory

#14 21. 10. 2011 21:59

Re: Lineární podprostory

#15 21. 10. 2011 22:04

Re: Lineární podprostory

#16 21. 10. 2011 23:37

Re: Lineární podprostory

#17 22. 10. 2011 09:08

Re: Lineární podprostory

#18 22. 10. 2011 13:31

Re: Lineární podprostory

Zápatí