Matematické Fórum

Tlacenka · 22. 10. 2011 13:49

Zadani::: Necht $X=\{$a,b$|a,b \in \mathbb Z, b\neq0\}$ . Definujeme si $$a,b$R$c,d$$ prave kdyz $ad=bc$ . Dokazte ze R je ekvivalence na mnozine X.

Jen k tomu zadani jestli jsem ho pochopil spravne: $$\(a,b$,$c,d$\) \in R$ to si muzu domyslet ze existuje nejaka mnozina $Y=\{$c,d$|c,d \in \mathbb Z\}$ v ktere jsou prvky takove, aby platilo $ad=bc$ ?

Nevim jestli sem na to sel spravne, nejdriv dokazat ze relace bude reflexivni pak symetricka a nakonec tranzitivni.
Potreboval bych trosku nakopnout jak tu parádu mam zacit resit :).

vanok · 22. 10. 2011 14:05

Ahoj ↑ Tlacenka:,
Nepripomina ti to $Q$ , zlomky ...?
Jediny problem je tu spravne prelozit podla tvojej relacie R 3 vlasnosti na dokazanie

Ukazem ti REFLEXIVITU

Tu to znamena: Pre kazdy prvok $(a; b) \in R b\neq 0$ mame $(a;b)R(a;b)$ cize $ab=ab$
Posledna relacia je trivialne averena tak <<R je reflexivna>>

POKRACUJ

Srdecnne Vanok

Tlacenka

↑ vanok:

Takze Symetrie:

Aby slo o symetrickou relaci tak musi platit $$a,b$R$b,a$$ kde $$b,a$ = X^{-1}$ no ale $X \neq X^{-1}$

EDIT: Potreboval bych trosku priblizit tu jednu vetu ktere tak zcela nerozumim v tom zadani: Definujeme si ... prave kdyz ... .

vanok · 22. 10. 2011 14:43

↑ Tlacenka:
Nenapis tento krat riesenie

Ale ty tu napis ako ste presne definovali SYMETRIIU a TRANSITIVITU

A potom to "preloz" na tuto situaciu

Tlacenka

Mno ...
definice symetrie: $\forall x,y \in X: [(x,y) \in R] => [(y,x) \in R]$
A kdyz to prevedu na toten priklad
$\forall (a,b),(c,d)\in X:\qquad [(a,b)R(c,d)] => [(c,d)R(a,b)]$

definice tranzitivity: $[(x,y) \in R \wedge (y,z) \in R] =>[ (x,z) \in R]$
Prevod na nas priklad:
$[(a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f)] => [(a,b)R(e,f)]$

vanok · 22. 10. 2011 15:02

↑ Tlacenka:
Dokonalesi to "prelozil"
A na dokoncenie "preloz teraz" tvoju implikaciu to na to nasobenie co definuje R a omzite uvidis ze ...

Srdecne Vanok

Tlacenka

↑ vanok:
Jo jasny uz chapu takze:

... pokracovani k symetrii ...
$[(a,b)R(c,d)]: [ad=bc] => [cb = da] => [(c,d)R(a,b)]$

... pokracovani k tranzitivite ....
$[(a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f)]: [ad=bc\wedge cf=de]$
Vytahnu si treba c jedno z ktereho ramene rovnice:
$[c=\frac{ad}{b}]$
Dosadim nazpet
$\frac{ad}b\cdot f=de$
Upravim a dostanu
$[af=be] => [(a,b)R(e,f)]$

Ted by me jen zajimalo jestli to takhle muze byt, pac mi prijde ze si az moc vymyslim a neco mi tam furt nesedi. Z toho dokazovani me jednou klepne. Neumim si predstavit ze bych na toto prisel sam nebo si to aspon uvedomil :/

vanok · 22. 10. 2011 15:15

↑ Tlacenka:
ja bi dom to troska doplnil, prva imlikacia treba napisat preco je to tak 5 lebo nasobenie je komutativne a = je reflexivna)

A tu druhu sipku by som vyhodil a napisal podla definicie relacie R mame:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Srdecne Vanok

Tlacenka · 22. 10. 2011 15:26

↑ vanok:
Jojo diky moc ja uz to snad nejak dotahnu do finishe :). Hlavni je ze sem se pohnul z mista a uvedomil si jak se to priblizne resi no ale mam co dohanet .. zadnej med to rozhodne neni :).

Dekuju ti moc a hezky zbytek vikendu .. mej se :)

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2011 13:49

Důkaz ekvivalence

#2 22. 10. 2011 14:05

Re: Důkaz ekvivalence

#3 22. 10. 2011 14:15 — Editoval Tlacenka (22. 10. 2011 14:19)

Re: Důkaz ekvivalence

#4 22. 10. 2011 14:43

Re: Důkaz ekvivalence

#5 22. 10. 2011 14:50 — Editoval Tlacenka (22. 10. 2011 15:04)

Re: Důkaz ekvivalence

#6 22. 10. 2011 15:02

Re: Důkaz ekvivalence

#7 22. 10. 2011 15:10 — Editoval Tlacenka (22. 10. 2011 15:22)

Re: Důkaz ekvivalence

#8 22. 10. 2011 15:15

Re: Důkaz ekvivalence

#9 22. 10. 2011 15:26

Re: Důkaz ekvivalence

Zápatí