Matematické Fórum

sejra · 22. 10. 2011 21:47

Dobrý večer ,
Rovnice:

Úkolem je zjistit jestli alespon 1 kořen rovnice patří do intervalu <-2;0>
Moje řešení :

Code:

x*e^(-x) + 2*e^(-x) - 1 = 0   | rozšíříl jsem rovnici pomocí e^-x
e^(-x) * (x+2) - 1 = 0  | vytkl jsem e^-x
x+2 =0 => x=-2

Prosil bych o nejake zhodnoceni mého postupu , jestli se nedopoustim nejake neekvivalentni upravy a o radu jak vypocítat i ten druhý kořen rovnice .
ROVNICE na wolframu
Děkuji .

vanok · 22. 10. 2011 21:52

↑ sejra:,
Takato rovnica sa neda presne vyriesit.
Tak ak ju mas ozaj vyriesit tak mozes najst len priblizne korene.
Je na to spusta metod.
Ale ake si uz studoval?

Srdecne Vanok

sejra · 22. 10. 2011 21:56

Kdyz mluvis o pribliznem reseni znas nejaky pomoci limit ?

OiBobik

↑ sejra:

Ahoj,

dosazením snadno zjistíš, že -2 není kořenem rovnice. K ověření, že rovnice má na intervalu $[-2,0]$ řešení, je klíčové si uvědomit
1) že $f(x):=x+2-e^x$ je spojitá na $[-2,0]$
2) že spojité funkce mají tzv. Darbouxovu vlastnost.

; ))

edit: omlouvám se za duplikát, už to tu nechám

vanok · 22. 10. 2011 22:04

↑ sejra:
tuto metodu ste studovali?
http://cs.wikipedia.org/wiki/Metoda_te%C4%8Den

A tu mas zoznam viacerych metod
http://en.wikipedia.org/wiki/Root-finding_algorithm

Metoda bisekcie, alebo dichotomie sa uci uz na SS (aspon za mojej doby)

Srdecne Vanok

sejra · 22. 10. 2011 22:09 — Editoval sejra (22. 10. 2011 22:14)

vanok napsal(a):
↑ sejra:
tuto metodu ste studovali?
http://cs.wikipedia.org/wiki/Metoda_te%C4%8Den

Metoda bisekcie, alebo dichotomie sa uci uz na SS (aspon za mojej doby)

Newtnovu metodu jsem mel akorat minulej tejden na prednasce tak ja to zkusim pomoci ní a dám vědet , dík za nápad .

vanok · 22. 10. 2011 22:20

↑ sejra:
No tak sa pocvic na Newton-ovej metode.
Pozor na vyber $x_0$ aby metoda konvergovale je treba ho vybrat "blizko" korena. ( mame 2 korene : jeden blizko -2 a druhy blizko 1... tak budes musiet pouzit metodu DVA KRAt nezavisle)

Srdecne Vanok

sejra · 22. 10. 2011 22:47 — Editoval sejra (22. 10. 2011 22:52)

Tak řešil jsem to nasledovně :
zadaný interval jsem bral jako separační interval <-2;0> , splnuje vsechny podmínky který jsou daný pro něj . Poté jsem si zvolil krajní bod intervalu -2 a zkusil jestli mi vyhovuje a opet vyhovoval . Pro zvolené x0 (čti jako x s dolnim indexem 0) jsem si vypocetl x1 a vyšlo mi -1,84 což odpovídá s presností na cca 0,15 . Tudíž jsem splnil podmínku na daném intervalu a neprováděl jsem další upřesnování .
Druhej kořen jsem neurčoval ale měl bych dotaz , jak zvolit správný separační interval když ho nemám zadaný => nemám se čeho chytit .
EDIT : A jeste bych se chtel zeptat , tento příklad byl v testu u kterého nejsou povoleny kalkulačky tak neznáte nejake reseni které by šlo vysypat z hlavy ?
Děkuji .

OiBobik

↑ sejra:

(vyjádření k editu na konci)

No to je to, co jsem ti psal ; ))

Zadání tak, jak jsi ho psal, nepožaduje řešení kvantitativní, ale svým zbůsobem kvalitativní (alespoň podle terminologie mého profesora z analýzy i profesora z numeriky : )) ) - úkolem je zjistit, jestli nějaký kořen v daném intervalu leží, ne, kde asi tak je.

To se udělá snadno - je známo, že spojité funkce mají tzv. Darbouxovu vlastnost, což znamená (neformálně): nabývá-li funkce v bodě a hodnoty f(a) a v bodě b hodnoty f(b), pak nabývá f v některém bodě mezi a a b libovolné funkční hodnoty z rozsahu f(a), f(b).
Stačí si tedy uvědomit, že f(-2)<0, f(0)>0 a že f(x)=x+2-e^x je na intervalu [-2,0] jistě spojitá a z Darbouxovy vlastnosti spojitých funkcí již plyne, že alespoň v jednom bodě z intervalu (-2,0) je funkční hodnota výrazu rovna nule - tedy že v tom intervalu je bod, který je kořenem.

Ale záleží na tom, jaké je přesně zadání. Jestli je takové, jaks nahoře psal, tato úvaha a její sepsání nezabere více než dvě minuty a je k řešení zcela postačující bez nějakých výpočtů. ; ))

sejra · 22. 10. 2011 23:36 — Editoval sejra (22. 10. 2011 23:38)

Co kdyby neplatilo
f(a)< 0 < f(b) ale bylo to treba naopak tak to uz nelze vyuzit Darbouxovi vlastnosti ? A co by to znamenalo ? Ze funkce nema na intervalu kořen nebo by to neznamenalo nic a musel bych vyuzit jinou metodu pro zjisteni zda-li tam ten kořen neni ?

OiBobik · 22. 10. 2011 23:51

↑ sejra:

Samozřejmě platilo. Proto jsem se snažilo to formulovat ve tvaru "je mezi hodnotami ... " aby bylo jasné, že pořadí může být různé.

formálněji:
Nechť $f$ je reálná fce reálné prom. spojitá na $[a,b], a<b, a,b \in \mathbb{R}$ , dále nechť $f(a)\neq f(b)$ , buďte $A:=\min\{f(a),f(b)\},B:=\max\{f(a),f(b)\}, C \in (A,B)$ . Pak existuje $x_0\in(a,b): f(x_0)=C$ .

Ovšem to, že ten závěr o kořeni by platil i pro nějakou fci g, kde g(-2)>0 a g(0)<0, lze nahlédnout i z toho, že funkce -g bude mít ty stejné kořeny, jako fce g.

// jsi si jistý, žes toto někdy neviděl? ten příklad totiž k takovému řešení přímo vybízí a divil bych se, kdyby nešlo o zamýšlené řešení.

sejra · 23. 10. 2011 00:57 — Editoval sejra (23. 10. 2011 01:31)

Šlo by říct že rovnice má kořen na intervalu <a;b> když f(a) < 0 < f(b) resp. naopak ale v pripade f(a)> 0 < f(b) resp. naopak tak na intervalu <a;b> se kořen nenachazi ?

vanok · 23. 10. 2011 01:01

↑ OiBobik:
Ano mas pravdu, cital som nepozorne text cvicenia: islo iba dokazat ze existuje nejake riesenie a nie hladat jeho priblizne hodnoty.

OiBobik

↑ sejra:

Samozřejmě že ne, to je jenom implikace, nikoli ekvivalence. Však si to zkus přestavit - polynom $f(x)=x^2-1$ je spojitý na intervalu $[-2,2]$ , $f(-2)=f(2)>0$ a přitom má na intervalu $[-2,2]$ dokonce 2 kořeny.

Jinak více zde, mají zde danou větu i s důkazem (nečetl jsem, takže nevím, jak moc podrobným).

vanok · 23. 10. 2011 10:55

↑ sejra:
↑ OiBobik:

Aj tu je ta znama Bolzanova veta
http://cs.wikipedia.org/wiki/Bolzanova_v%C4%9Bta

<<Nechť funkce f(x) je spojitá na kompaktním (tj. omezeném a uzavřeném) intervalu [a,b] a nechť f(a)f(b) < 0. Pak existuje alespoň jeden bod c \in [a,b] takový, že f(c) = 0.>>

Je to specialny pripad tejto vety:

<<Nech f je realna spojita funkcia definovana na intervale I,potom jeho f(I) je interval.>>

Co sa tyka dokazu: je viac druhov,

napriklad topologicky: klucova myslienka je :
obraz konnexnej mnoziny, realnou spojitov funkciou je konnexna mnozina

dokaz vdaka dichotomie

dokaz zo sup

Tak je vyber aj na to....

Srdecne Vanok

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2011 21:47

Kořeny rovnice

Code:

#2 22. 10. 2011 21:52

Re: Kořeny rovnice

#3 22. 10. 2011 21:56

Re: Kořeny rovnice

#4 22. 10. 2011 21:58 — Editoval OiBobik (22. 10. 2011 21:59)

Re: Kořeny rovnice

#5 22. 10. 2011 22:04

Re: Kořeny rovnice

#6 22. 10. 2011 22:09 — Editoval sejra (22. 10. 2011 22:14)

Re: Kořeny rovnice

vanok napsal(a):

#7 22. 10. 2011 22:20

Re: Kořeny rovnice

#8 22. 10. 2011 22:47 — Editoval sejra (22. 10. 2011 22:52)

Re: Kořeny rovnice

#9 22. 10. 2011 23:17 — Editoval OiBobik (22. 10. 2011 23:30)

Re: Kořeny rovnice

#10 22. 10. 2011 23:36 — Editoval sejra (22. 10. 2011 23:38)

Re: Kořeny rovnice

#11 22. 10. 2011 23:51

Re: Kořeny rovnice

#12 23. 10. 2011 00:57 — Editoval sejra (23. 10. 2011 01:31)

Re: Kořeny rovnice

#13 23. 10. 2011 01:01

Re: Kořeny rovnice

#14 23. 10. 2011 08:45 — Editoval OiBobik (23. 10. 2011 09:46)

Re: Kořeny rovnice

#15 23. 10. 2011 10:55

Re: Kořeny rovnice

Zápatí