Matematické Fórum

undertabler · 23. 10. 2011 09:12

Zdravim,

mam priklad na extremy fce(x,y,z)xyz na elipsoidu urcenem rovnici 3x^2+3y^2+z^2=1.

Snazil jsem se resit pres Lagrangeovy multiplikátory:

F(x,y,z) = xyz + L(3x^2 + 3y^2 + z^2 - 1)

F'(x) = yz + 6Lx = 0
F'(y) = xz + 6Ly = 0
F'(z) = xy + 2zL = 0
3x^2+3y^2+z^2=1

Dale ale nedokazi dostat stacionarni body. Poradite nekdo? Diky

kompik · 23. 10. 2011 10:22

$yz+6Lx=0$

$xz+6Ly=0$

$xy+2Lz=0$

$3x^2+3y^2+z^2=1$

Prvé tri rovnice viem upraviť takto:

$yz=-6Lx$

$xz=-6Ly$

$xy=-2Lz$

Po ich vynásobení mám: $(xyz)^2=-72L^3(xyz)$ .

To znamená, že $xyz=0$ (čiže niektorá z~troch súradníc je nulová), alebo $-72L^3=1$ , a teda $L=\frac1{\sqrt[3]{72}}=\frac1{2\sqrt{9}}$ . Opäť sa dá ľahko skontrolovať, že nemáme riešenie, kde by bola jedna súradnica nulová.

Keď si vezmem dve z~týchto rovníc a vydelím ich medzi sebou, vypadne mi L. (Už som zistile, že L,x,y,z sú nenulové, takže nikde nedelím nulou.) Dostanem:

$\frac yx = \frac xy$ $\Rightarrow$ $x^2=y^2$

$\frac zx = 3 \frac xz$ $\Rightarrow$ $z^2=3x^2$

$\frac zy = 3 \frac yz$ $\Rightarrow$ $z^2=3y^2$

Keď dosadím do rovnice elipsoidu, tak mám $3x^2+3y^2+z^2=9x^2=1$ , a teda $x^2=\frac1{9}$ . Z toho už ľahko dorátam ostatné premenné.

*******************

Opäť sa to dá ľahko riešiť pomocou geometrického a kvadratického priemeru - pre nezáporné x,y,z máme:

$\sqrt[3]{(\sqrt3x)(\sqrt3y)z} \le \sqrt{\frac{3x^2+3y^2+z^2}3}$ $\Rightarrow$ $3xyz \le \sqrt{\frac1{3^3}}$ $\Rightarrow$ $xyz\le \frac1{9\sqrt3}$

pričom rovnosť nastane pre $z^2=3x^2=3y^2$ , t.j. $z=\frac1{\sqrt3}$ a $x=y=\frac13$ .

(Týmto sme našli iba maximum v časti $x,y,z\ge 0$ , zasa treba použiť symetriu.)

cyber-mythius · 24. 01. 2012 11:37

ozivim starsi tema - resim vicemene ekvivalentni priklad ... nicmene mozna trivialni vec -

jak jsme dosli na to, ze $-72L^3=1$

? $xyz=0$ chapu, nicmnee ta 72 mi neni jasna

dekuji

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2011 09:12

vazane extremy (uprava rovnic)

#2 23. 10. 2011 10:22

Re: vazane extremy (uprava rovnic)

#3 24. 01. 2012 11:37

Re: vazane extremy (uprava rovnic)

Zápatí