Matematické Fórum

Skrytý text:
tuším, že něco jako sin(1/x)*x^3, v 0 dodefinovaný nulou. ale jsem línej to dokazovat:)

Skrytý text:


Ano, např. funkce pro a .

1) Sudost je evidentní.
2) Pro nenulová x je

,


Spojitost derivace v nenulových x je zřejmá. Derivace je spojitá i v nule, protože se snadno ukáže, že .

Pokud by měla funkce v nule extrém, pak je to buď maximum a všechny hodnoty z nějakého okolí budou záporné, nebo je to minimum a všechny hodnoty z nějakého okolí budou kladné. Když si však vezmeme posloupnosti definované jako a , zjistíme, že a . Limity posloupností a jsou nula, takže v libovolném okolí nuly najdeme bod, kde je funkce kladná, a bod, kde je záporná. To je spor s tím, že je v nule extrém.