Matematické Fórum

ShadyDrob_cz · 22. 10. 2011 23:22

Zdravim, potřeboval bych pomoct s důkazem věty o limitě, sám to nejsem chopný nějak vymyslet:

Díky za jakoukoliv radu

OiBobik · 22. 10. 2011 23:28

↑ ShadyDrob_cz:

Zdravím,

nechceš sepsat to tvrzení nějak slovně? Takto to nedává žádný moc velký smysl (není vůbec jasné, co by se mělo dokazovat a z čeho)

etchie · 22. 10. 2011 23:34 — Editoval etchie (22. 10. 2011 23:48)

↑ ShadyDrob_cz:

ja by som skusil v tej postupnosti vykratit kazdeho menovatela s citatelom vpravo, ostal by tam jednoduchy zlomok, cize $\frac{a_n}{a_1}$

aby zaroven platila ta postupnost aj po vykrateni, t.j. $a_n = \frac{a_n}{a_1}$ tak $a_1$ musi byt 1

ShadyDrob_cz · 23. 10. 2011 14:43

OiBobik:
no jediný co mam k dospozici je toto:

slovně bych to vyjádřil asi:

Code:

Když an je větší než 0, tak limita z n-té odmicniny an je A, kde A leží v intervalu <0;nekonečno)

etchie:
díky za tip, zkusim s tim něco vymyslet, ale moc v tom nevidim zatim

etchie · 23. 10. 2011 16:43

↑ ShadyDrob_cz:

zadanie z tvojho prveho prispevku sa mi zda ok, lebo ked aplikujem vykratenie clenov postupnosti a zistim, comu sa vlastne rovna $a_n$ tak je mozne vyraz n-ta odmocnina trosilinku upravit a vypocitat limitu, vysledok je ze $A\in<0,+\infty)$ a to ma byt dokazane

poznamka na okraj:
dokonca aj pociatocna podmienka $a_n>0$ sa ukazuje ako spravne zvolena, pretoze ak by $a_n<0$ tak odmocnovanim zaporneho cisla sa dostavame do roviny komplexnych cisiel a teda $A$ nebude patrit do uvedeneho intervalu. ak by sme pripustili podmienku, ze $a_n=0$ , tak vysledok by nebol jednoznacny a jeden tabor matematikov by tvrdil, ze vysledok operacie je 1, druhy zas, ze je to 0 a treti by tvrdil, ze nie je definovany.

OiBobik

↑ ShadyDrob_cz:

Chápu dobře, že co má být dokázáno, je to tvrzení, cos napsal slovně, a to, co začíná slovem "Věta: ...", je jenom nějaký prostředek, nebo to má být dokázáno?

Protože ta slovní formulace určitě neplatí: stačí uvážit posloupnost $\{n^n\}_{n=1}^{\infty}$ . To je taky protipříklad k tomu, jak chápe úlohu ↑ etchie:.

A kdybyste chtěli nějaký protipříklad, kdy uvažovaná limita ani neexistuje, budiž jím $\{$2+(-1)^n$^n\}_{n=1}^{\infty}$ .

ShadyDrob_cz · 24. 10. 2011 09:43

etchie:
takže mi vlastně stačí spočítat n-tá odmocnina z an/a1

OiBobik:
Omlouvám se, že sem to trochu zmátl. Mám dokázat to uplně první tvrzení. Ten druhej scan je opis z tabule jak nam to napsal učitel.

OiBobik · 24. 10. 2011 10:01

↑ ShadyDrob_cz:

To je právě to krajně podezřelé - ten první scan zní (při velké snaze jej nějak rozumně vyložit) zhruba tak, jaks jej slovně popsal, tj.

Nehť $a_n$ je posloupnost kladných čísel taková, že $\forall n \in\mathbb{N}: a_n=\prod_{k=2}^{n}\frac{a_k}{a_{k-1}}$ . Pak existuje $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=A \in [0,\infty).$

Což je ovšem tvrzení, které nemá smysl dokazovat, jelikož neplatí (protipříklady uvedeny výše).

Buď mi něco výrazně nedochází, anebo jsi zkrátka nějak špatně opsal zadání.
Upřímně řečeno, ta součinová podmínka je taky nějaká podezřelá - neříká totiž (jak si správně všiml etchie) nic jiného, než že $a_1=1$ a $\forall n \in\mathbb{N}: a_n\neq 0$ . Naopak co takovému tvrzení chybí, jsou předpoklady, že ona řešená limita zkrátka existuje a je vlastní (pak jsou totiž oba moje protipříklady irelevantní, neboť jedna posl. má onu limitu nevlastní a uvažovaná limita pro tu druhou posloupnost neexistuje). Nicméně pak by zase byl důkaz až podezřele triviální.

ShadyDrob_cz · 26. 10. 2011 22:29

Aha, díky za tipy, nechám to teda být a ověřim si zda sem opsal správně zadání, případně to zkonstatuji s učitelem.

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2011 23:22

Důkaz věty o limitě

#2 22. 10. 2011 23:28

Re: Důkaz věty o limitě

#3 22. 10. 2011 23:34 — Editoval etchie (22. 10. 2011 23:48)

Re: Důkaz věty o limitě

#4 23. 10. 2011 14:43

Re: Důkaz věty o limitě

Code:

#5 23. 10. 2011 16:43

Re: Důkaz věty o limitě

#6 23. 10. 2011 17:24 — Editoval OiBobik (24. 10. 2011 08:43)

Re: Důkaz věty o limitě

#7 24. 10. 2011 09:43

Re: Důkaz věty o limitě

#8 24. 10. 2011 10:01

Re: Důkaz věty o limitě

#9 26. 10. 2011 22:29

Re: Důkaz věty o limitě

Zápatí