Matematické Fórum

Aquabellla

Zdravím, potřebovala bych poradit s jedním příkladem:

$a_n = \frac{n^2 + n}{n^2 + 1} \cdot sin^2 \frac{n \pi}{4}$ , $n \in N$
A máme vypočítat: $\lim_{n \to\infty} \mathrm{sup } a_n$ a $\lim_{n \to\infty} \mathrm{inf } a_n$ .

Supremum a infimum jsme si definovali a ukázali na pár příkladech, ale nevím, jak se řeší takto složitější příklady, natož jejich limita a bohužel to není ani ve skriptech. Předem díky za každou radu!

vanok · 23. 10. 2011 21:07 — Editoval vanok (23. 10. 2011 21:08)

Ahoj]p226544|Aquabellla[/re],

Ake hodnoty moze mat

$\sin^2 \frac{n \pi}{4}$ ?

Srdecne Vanok

OiBobik · 23. 10. 2011 21:28

↑ Aquabellla:

Dovolím si jen poznámku, aby bylo jasné, co se řeší:

Symboly "limsup" a "liminf" běžně není myšleno nějaké složení pojmů jako "limita suprema"
"limsup" a "liminf" (limes superior, limes inferior) jsou samostatné pojmy, které jsou jistým způsobem zobecněním pojmu limity posloupnosti (v tom smyslu, že má-li posloupnost an limitu, pak lim an=limsup an=liminf an)
Jsou definovány jako infima, resp. suprema množiny hromadných hodnot posloupnosti, kde množina hromadných hodnot je množina limit všech možných vybraných podposloupností.
Více zde (opravdu pěkný materiál, který mi loni při zkouškovém hodně pomohl : )) )

Jsi si jista, že není toto myšleno zadáním příkladu?

Aquabellla · 23. 10. 2011 21:34

↑ vanok:

Argument: $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi$
Sinus: $\frac{\sqrt2}{2}, 1, \frac{\sqrt2}{2}, 0, -\frac{\sqrt2}{2}, -1, -\frac{\sqrt2}{2}, 0$
Sinus umocněn: $\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, 0$

$\sin^2 \frac{n \pi}{4}$ => hodnoty $0, \frac{1}{2}, 1$

↑ OiBobik:
Moc díky, pročtu si to.

vanok · 23. 10. 2011 21:38

↑ Aquabellla:
Mozno je uzitocne sa pohrat zo zaujimavymi vybranymi pod-postupnostiamy

Stýv · 23. 10. 2011 21:49

↑ OiBobik: nooo... ono např. takový lim sup opravdu je limita suprem, viz http://en.wikipedia.org/wiki/Limsup#Def … _sequences

OiBobik

↑ Stýv:

Ano, máš pravdu, mně to pak i došlo, že to lze definovat i jako limitu suprem/infim zbytku posloupnosti, já jen aby nedošlo ke zmatení pojmů (je potřeba vědět, že je to supremum toho zbytku posloupnosti, ne posloupnosti celé - když se totiž napíše $\sup x_n$ , nejpřirozenější výklad je $\sup\{x_n|n\in \mathbb{N}\}$ , což by ovšem byla konstantní posloupnost a nebylo by moc co řešit).

Aquabellla

↑ vanok:

Vybrané podposloupnosti:
1) $n = 2k - 1$ - limita je 1/2
2) $n = -2 + 4k$ - limita je 1
3) $n = 4k$ - limita je 0
(samozřejmě k je přirozené číslo)

Takže mě zajímá hlavně výsledek dvojky a trojky?

vanok · 23. 10. 2011 23:57

↑ Aquabellla:
pochopitelne ze ak to ma byt pisomna praca daj tam co najviac vysvetleni

Dam ti tu este nieco podobne a urob to sama

vanok · 24. 10. 2011 00:00

$a_n= \frac12+(-1)^n\frac {n^2}{{n^2}+4}$

Aquabellla · 24. 10. 2011 07:00

Děkuji moc za všechno!

Aquabellla · 24. 10. 2011 10:49

↑ OiBobik:

Tak to asi k nedorozumění došlo... čemu se to tedy rovná?

vanok · 24. 10. 2011 11:30

↑ Aquabellla:
Mas pravdu , ale lim sup a lim inf?????

Aquabellla · 24. 10. 2011 12:29

↑ OiBobik:

(Chybka se mi vloudila do zadání)

$\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+n}{n^2+1} = 1$

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2011 20:13 — Editoval Aquabellla (24. 10. 2011 12:28)

Limita suprema a infima posloupnosti

#2 23. 10. 2011 21:07 — Editoval vanok (23. 10. 2011 21:08)

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#3 23. 10. 2011 21:28

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#4 23. 10. 2011 21:34

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#5 23. 10. 2011 21:38

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#6 23. 10. 2011 21:49

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#7 23. 10. 2011 21:54 — Editoval OiBobik (23. 10. 2011 22:06)

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#8 23. 10. 2011 23:37 — Editoval Aquabellla (23. 10. 2011 23:37)

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#9 23. 10. 2011 23:57

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#10 24. 10. 2011 00:00

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#11 24. 10. 2011 07:00

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#12 24. 10. 2011 07:39 Příspěvek uživatele OiBobik byl skryt uživatelem OiBobik. Důvod: chyba v zadání

#13 24. 10. 2011 10:49

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#14 24. 10. 2011 11:30

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

#15 24. 10. 2011 12:08 Příspěvek uživatele OiBobik byl skryt uživatelem OiBobik. Důvod: chyba v zadání

#16 24. 10. 2011 12:29

Re: Limita suprema a infima posloupnosti

Zápatí