Matematické Fórum

Blujacker · 24. 10. 2011 18:02

Ahoj, mám za úkol následující příklad.

Mějme množinu $A = \{1,2,3,4,5,6\}$ a na ní definovanou binární relaci $R = \{(1,1), (4,5), (2,1), (3,1), (5,5), (1,4), (3,3), (2,5), (3,5), (2,2)\}$

a) Rozhodněte a dokažte, zda relace R je uspořádání
b) Pokud ne, najděte nejmenší relaci R' takovou, že $R \subseteq R'$ a R' je uspořádání.
c) Nakreslte Hasseův diagram

Můj postup:

a) Aby relace uspořádání, musí splnovat reflexi, tranzitivitu a antisymetrii. Pokud nesplnuje všechny tyto tři vlastnosti, není to uspořádání. Relace není reflexivní, protože by tam muselo platit $\forall a \in A$ platí $(a, a) \in R$ . Ale třeba prvky (4,4) a (6,6) v relaci nejsou a proto to není uspořádání.

b) Asi bych postupně doplňoval relaci R tak dlouho, dokud by nesplňovala ony tři vlastnosti. Takže bych přidal prvky na diagonále $(4,4), (6,6)$ a relace R' je reflexivní. Musí se doplnit nějaké prvky, aby byla tranzitivní.
$R' = R \cup {(4,4), (6,6)} \cup {(2,4), (3,4)}$
Takováto relace by měla být, pokud se nemýlím uspořádání.

c) Hasseův diagram by neměl být až zas takový problém, akorát nevím, jaký prvek bude úplně dole jako počátek. To si můžu vybrat? Nebo podle čeho to mám řadit?

Děkuji za potvrzení / vyvrácení prvních dvou bodů a za popostrčení k bodu třetímu :-)

vanok · 24. 10. 2011 18:11

↑ Blujacker:

mozes napisat ako ste definovali

<<relace R je uspořádání>>

Blujacker · 24. 10. 2011 18:16

↑ vanok:

Relace R je uspořádání právě tehdy, splnuje-li vlastnosti reflexe, tranzitivity a antisymetrie

Množina A, relace R
reflexe: $\forall a \in A \implies (a,a) \in R$
tranzitivita: $(a,b) \in R \wedge (b, c) \in R \implies (a,c) \in R$
antisymetrie: $(a, b) \in R \wedge (b, a) \in R \implies a =b$

vanok · 24. 10. 2011 18:22

↑ Blujacker:
Vyborne
A) to staci co si napisal
teraz kontrolujem tvoje B)

vanok · 24. 10. 2011 18:32 — Editoval vanok (24. 10. 2011 18:33)

↑ vanok:
b) treba doplnit
v $R$ mas $(1;4)$ a aj $(4;5)$ a transivita v $R'$ da .....

Asi najjednoduchie je to kontrolovat na diagrame

Srdecne Vanok

Blujacker

↑ vanok:
Děkuji, takže výsledná relace je $R' = R \cup \{(4,4), (6,6)\} \cup \{(2,4), (3,4), (1,5)\}$

Jak by tedy vypadal ten Hasseův diagram? Nebo alespon jakým prvek by měl být dole?

Děkuji

Blujacker · 24. 10. 2011 22:54

↑ Blujacker:
Tak jsme se spolužákem shodli, že Hasseův diagram nakreslit nelze, protoze neni určené žádné kritérium, podle kterého by se členy v hasseově diagramu řadit...
Díky všem za pomoc :-)

vanok · 24. 10. 2011 23:15

↑ Blujacker:

pozri este sem
http://cs.wikipedia.org/wiki/Hasse%C5%AFv_diagram

Blujacker · 24. 10. 2011 23:22

↑ vanok:
Já jsem na to koukal a cituji:

"Dva vrcholy se spojí čarou (hranou) vedenou zdola nahoru od x k y, jestliže x < y "

Jenomže v mém uspořádání jsou členy relace dvojice bodů (a, b) a porovnávání by muselo být nějak definováno, abych je mohl seřadit. Ostatně i u toho dalšího příkladu na wikipedii je také určeno podle čeho se prvky mají řadit:

Množina A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 } všech dělitelů čísla 60 částečně uspořádaná podle dělitelnosti může být zobrazena následujícím Hasseovým diagramem:

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2011 18:02

Uspořádání

#2 24. 10. 2011 18:11

Re: Uspořádání

#3 24. 10. 2011 18:16

Re: Uspořádání

#4 24. 10. 2011 18:22

Re: Uspořádání

#5 24. 10. 2011 18:32 — Editoval vanok (24. 10. 2011 18:33)

Re: Uspořádání

#6 24. 10. 2011 19:03 — Editoval Blujacker (24. 10. 2011 19:03)

Re: Uspořádání

#7 24. 10. 2011 22:54

Re: Uspořádání

#8 24. 10. 2011 23:15

Re: Uspořádání

#9 24. 10. 2011 23:22

Re: Uspořádání

Zápatí