Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 26. 10. 2011 09:41

Ahoj, zamotal jsem se do jedné klasické úlohy, prosím o popostrčení:
Plavec vyrazí z bodu A a chce přeplavat řeku do bodu O. Velikost jeho relativní rychlosti vůči vodě je konstantní a směřuje stále k bodu O. Rychost proudu je kostantní. Najděte závislost $r=r(\varphi)$ .

Mate mě to, že nehledám závislost na čase, ale na úhlu $\varphi$ , mám tedy najít trajektorii v polárních souřadnicích. Kdybych hledal časové závislosti polohy v kartézských souřadnicích (x doprava, y nahoru, počátek O), tak bych myslím řešil soustavu:
$\dot{x}=v_F-v_{rel}\cos$\arctan\frac{y}{x}$$
$\dot{y}=-v_{rel}\sin$\arctan\frac{y}{x}$$
$x_0=0,\ y_0=b$ .
S tou jsem nepohnul. Když podle zadání hledám $r=r(\varphi)$ , tak by mohlo platit:
$\frac{\text{d}r}{\text{d}\varphi}=v_F \cos\varphi - v_{rel}$ . Je to tak? Jak už jsem napsal, tak mě mate derivace podle úhlu...díky

zdenek1 · 26. 10. 2011 15:01

↑ FliegenderZirkus:
Asi bude lepší to dělat v polárních souřadnicích

$v_r$ je tvoje relativní rychlost
$v_R$ je rychlost ve směru polohového vektoru
$v_\varphi$ je rychlost ve směru rostoucího $\varphi$ - když tak podrobně zde str. 6 a dále

$v_R=v_F\cos\varphi-v_r=\frac{\text dr}{\text dt}$
$v_\varphi=-v_F\sin\varphi=r\frac{\text d\varphi}{\text dt}\ \Rightarrow\ \frac{\text d\varphi}{\text dt}=-\frac{v_F\sin\varphi}{r}$
$\frac{\text dr}{\text dt}=\frac{\text dr}{\text dt}\frac{\text d\varphi}{\text d\varphi}=\frac{\text dr}{\text d\varphi}\frac{\text d\varphi}{\text dt}=-\frac{\text dr}{\text d\varphi}\frac{v_F\sin\varphi}{r}=v_F\cos\varphi-v_r$
a
$-\frac{\text dr}{\text d\varphi}\frac{v_F\sin\varphi}{r}=v_F\cos\varphi-v_r$
už by mělo jít separací proměnných

FliegenderZirkus · 26. 10. 2011 18:02

↑ zdenek1:

Vyšlo mi $r(\varphi)=b\frac{$\tan\(\frac{\varphi}{2}$\)^{v_r/v_F}}{\sin(\varphi)}$ , na odvození té diferenciální rovnice se ještě později podívám podrobněji. Vydolování té časové závislosti (kdybych např. chtěl naprogramovat animaci pohybu plavce) by zase vedlo na separovatelnou rovnici, že? Konkrétně
$\frac{\text d\varphi}{\text dt}=-\frac{v_F\sin\varphi}{r}=-\frac{v_F \sin^2 \varphi}{b$\tan\(\frac{\varphi}{2} $ \)^{v_r/v_F}}$ .
Jak ale vyjádřit $\varphi=\varphi(t)$ ?

zdenek1 · 26. 10. 2011 18:09

↑ FliegenderZirkus:

U té poslední rovnice
$\frac{\text d\varphi}{\text dt}=-\frac{v_F \sin^2 \varphi}{b$\tan\(\frac{\varphi}{2} $ \)^{v_r/v_F}}$

zase půjde separace proměnných - v principu, ty integrály můžou být hnusný - ale je tam jen $\varphi$ a konstanty

FliegenderZirkus · 26. 10. 2011 18:34

↑ zdenek1:

Asi jsem se v tom už ztratil, ale takhle mi přece vyjde funkce $t=t(\varphi)$ , což je fyzikálně poněkud zvláštní...

Pavel Brožek · 26. 10. 2011 19:18

↑ FliegenderZirkus:

Vzhledem k tomu, že podle

$\frac{\text d\varphi}{\text dt}=-\frac{v_F \sin^2 \varphi}{b$\tan\(\frac{\varphi}{2} $ \)^{v_r/v_F}}$

je derivace $\varphi$ podle $t$ záporná, tak bude $\varphi(t)$ klesající funkce. Tu můžeš jednoznačně invertovat a to bude ta funkce $t=t(\varphi)$ , o které mluvíš.

FliegenderZirkus · 26. 10. 2011 19:51

↑ Pavel Brožek:

Když bezmyšlenkovitě separuji proměnné, tak dostanu
$\text{d}t=-\frac{b$\tan\(\frac{\varphi}{2} $ \)^{v_r/v_F}}{v_F \sin^2 \varphi}\text{d}\varphi$ , z čehož vyjde právě $t=t(\varphi)$ . Dá se nějak k dospět k $\varphi=\varphi(t)$ bez invertování tohoto výsledku? Mohl byses ještě prosím podívat, jestli je ta soustava v kartézských souřadnicích z prvního příspěvku správně? Asi za týden dostanu vzorové řešení, ale nechtělo se mi čekat:)

Pavel Brožek · 26. 10. 2011 20:46

↑ FliegenderZirkus:

Já k výsledku $\varphi(t)$ dojít neumím. Ani Mathematica si s tím neví rady (napíše, že řešením je inverzní funkce k funkci, kterou vypíše).

Ta soustava v kartézských souřadnicích je podle mě správně. (Jen si všimni, že $\cos$\arctan\frac{y}{x}$=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ a podobně pro sinus. Ne, že by to bylo podstatné, každý asi bude preferovat jiný tvar, já ten bez goniometrických funkcí.)

FliegenderZirkus · 26. 10. 2011 21:26

↑ Pavel Brožek:

Už rozumím, to jsem potřeboval slyšet. Nejspíš to zkusím nějak naprogramovat jako animaci, je to docela zajímavá úloha. Díky za rady.

FliegenderZirkus · 30. 10. 2011 11:04

Řekněme, že relativní rychlost plavce vůči vodě je větší než rychlost proudu: $v_r>v_f$ , takže plavec má šanci se k druhému břehu dostat. Uvažujme, že může libovolně měnit směr, kam plave. Jaká je jeho optimální strategie ve smyslu minimalizace času potřebného k přeplavání řeky? Nabízí se rozložení $v_r$ tak, aby jedna složka kompenzovala proud a plavec se tak rovnoměrným přímočarým pohybem dostal na druhou stranu. Je to ale nejlepší možnost? A jde to nějak pojmout bez použití funkcionálu? Možných strategií je nekonečně mnoho, takže asi ne...

Pokud by někoho zajímalo vzorové řešení původní úlohy, tak posílám odkaz (26.10. - Musterlösung, od str. 8)

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2011 09:41

Plavec v řece

#2 26. 10. 2011 15:01

Re: Plavec v řece

#3 26. 10. 2011 18:02

Re: Plavec v řece

#4 26. 10. 2011 18:09

Re: Plavec v řece

#5 26. 10. 2011 18:34

Re: Plavec v řece

#6 26. 10. 2011 19:18

Re: Plavec v řece

#7 26. 10. 2011 19:51

Re: Plavec v řece

#8 26. 10. 2011 20:46

Re: Plavec v řece

#9 26. 10. 2011 21:26

Re: Plavec v řece

#10 30. 10. 2011 11:04

Re: Plavec v řece

Zápatí