Matematické Fórum

Skrytý text:


Nechť značí Sorgenfreyovu přímku dle výše uvedené definice.  Všechny níže uvažované topologické pojmy (okolí, limita,
konvergence, kompaktnost) jsou míněny v tomto prostoru.

Předpokládejme, že   je konvergentní posloupnost v ,  tj.

(1)                         

pro vhodné .  Zvolme .  Potom množina

(2)                           

je (podle definice topologie v ) okolím bodu .  Z (1) plyne,  že výrok a tím spíše výrok (dle (2))
může být splněn nejvýše pro konečný počet členů posloupnosti . 


Odtud snadno vyplývá:

(I) Neklesající posloupnost v je konvergentní tehdy a jen tehdy, je-li od jistého indexu dále konstantní (=stacionární).

(II) Rostoucí (= ostře rostoucí podle některých autorů) posloupnost tedy nikdy není konvergentní v .

(III) Je-li kompaktní množina v , potom z jejích prvků nelze sestavit rostoucí posloupnost (důkaz sporem s (II)).


Z prvků nespočetné podmnožiny by snad (?) nemělo být obtížné sestavit nekonečnou rostoucí posloupnost -
samozřejmě že se při tom uplatní pouze vhodně zvolená spočetná část množiny (na přání to kdyžtak zkusím doplnit),
proto taková množina nemůže být kompaktní v .