Matematické Fórum

Ahoj!

Tva diferencialni rovnice se nazyva nehomogenni linearni diferencialni rovnice. Upravis ji takto:
v' - B*v^2 = A.

Vyresime nejprve homogenni difeencialni rovnici, tedy rovnici


v' - B*v^2 = 0.

To je lehke. Mela by to byt racionlani funkce. Bude tam schovana nejaka integracni konstanta, takze pokud chces resit tvou puvodni rovnici, tak pouzijes metodu variace konstatny. Vzhledem k tomu, ze reseni homogenni diferencialni rovnice ve tvem pripade je dosti snadne (relativne), nebude problem onu konstantu nahradit vhodnou funkci tak, aby jsi nasel hezky vypadajici reseni tve puvodni dif. rovnice.

Protoze tva rovnice obsahuje paramatry A a B, bude zapotrebi provest jeste diskuzi resitelnosti tve diferencialni rovnice vzhledem k temto parametrum. Navic problemy fyziky jsou mnohdy dosti konkretni, takze predpokladam, ze byly dany jakesi inicializacni podminky (chces-li pocatecni podminky). Pak si dosad prislusne hodoty do parametrickeho systemu integralnich krivek (reseni) tve puvodni rovnice. Tim bys to mohl mit hotovo.


Snad ti nekolik mych strucnych poznamek pomohlo.

Marian

Tak jsem se to pokoušel řešit, ale zase jsem došel (skoro) k tomu samému, možná tam někde dělám chybu.

v' = -(A + B*v^2)   upravím na

v' + B*v^2 = -A   , což řeším jako                                  [1]

v' + B*v^2 = 0   , vyjde:  v = 1/(B*t + C).

Tento výsledek zderivuji, takže v' = (-B-C')
                                                    --------
                                                   (Bt + C)^2

Toto dosadím do rovnice [1]:
     -B-C'                   B
-------------  +  ---------------   =   -A      a po jednoduché úpravě:
(Bt + C)^2       (Bt + C)^2

C' = A * (Bt+C)^2    jenže nevím, jak z tohohle určit tu funkci pro C :(

Ano, mám toto
                                   dC
C' = A * (Bt+C)^2, čili  --- = A * (Bt+C)^2, takže dC = A * (Bt+C)^2 dt, což na první pohled "láká"
                                   dt
integrovat levou stranu int(dC) = C a pravou stranu podle t, jenže napravo mi vystupuje zase to C, což zintegorvat nejde (nebo nevím jak).

Nemám tam třeba někde chybu, která mi způsobila přítomnost C i na pravé straně. Jinak se omlouvám za obtěžování tímto problémem, ale docela mě zajímá řešení.

Tak jsem konecne nasel cas ...

Nejak jsem prehlidnul na zacatku podstatne veci. Mam toho vseho totiz taky dost. Reseni v takovem tvaru, jak je uvedeno na zacatku je formalne v poradku. Nicmene je videt, ze neni efektivni. Reseni jsme vlastne nasli, nicmene posledne se vyskytujici integral jsme nespocetli. Stacilo by tedy rict, ze hledana funkce splnujici diferencialni rovnici na zacatku je takova, ze vyskytujici se funkce C(x) pri variaci konstanty splnuje vztah, ktery jsem nedokazali vyresit (vinou spatne zvolene metody).

Pouzil jsem jinou metodu ale. Ve tve diferencialni rovnici na zacatku se da totiz explicitne vyjadrit y. Provedeme to a mame celkem

y=(+/-)sqrt((y´-A)/B),

kde sqrt(x) znaci druhou odmocninu cisla "x". Pouzova se tzv. metoda parametru, pokud lze resenou dif. rovnici prevest na tvar y=F(y´), procemz tim parametrem je y´, presneji polozime

y´=p.

Z toho jiz snadno z predchoziho vyjadreni funkce "y" mame

y:=y(p)=(+/-)sqrt((p-A)/B).

Navic plati nasledujici (formalni) vztahy:

y=F(p)   =>   dy=F'(p) dp   =>   dx=1/p * F'(p) dp.

Proto

x:=x(p)=int(F´(p)/p) dp.

Derivaci funkce F(p) podle "p" nalezneme ale snadno. Bude

F´(p)=(+/-)1/sqrt(B) * 1/2 * 1/sqrt(p-A).

Proto

x(p)=(+/-) 1/sqrt(B) * 1/2 * int(1/p * 1/sqrt(p-a)) dp = ... = (+/-) 1/sqrt(A*B) * arctan(sqrt((p-A)/A))+C.

Resenim tve diferencialni soustavy je tak integralni krivka, ktera je dana parametrickymi rovnicemi x=x(p)+C, y=y(p). Staci nyni vyjadrit ze vztahu x=x(p)+C parametr "p" (je-li to mozne - zde to lze) a dosadit funkci pro "p" vyjadrene z tohoto vztahu do y=y(p). Tim je uloha vyresena (samozrejme bez diskuze pro parametry A a B).

Zdravim
Marian