Matematické Fórum

darkmagic · 30. 10. 2011 20:23

Zdravím, mám v poznámkách z přednášky následující příklad:

Vše co mám zaznamenané jako řešení příkladu je toto:

Mám tu jěště poznámku, že číslo 357 v druhé matici dostanu tak, že číslici 3 vynásobím 100 a číslici 5 vynásobím deseti a oba součiny přičtu k 7. Stejně tak pro zbylé řádky.

Nevěděl by prosím někdo, jak se takový příklad řeší?

FailED · 30. 10. 2011 20:50

To, že determinant té druhé matice je dělitelný 17 je vidět z definice, druhou z první dostaneš pomocí přičítání násobku jednoho sloupce k jinému, ta operace determinant nemění.

darkmagic

↑ FailED:
V sešitě jsem našel větu, která říká, že se determinant při přičítání násobku jednoho sloupce k jinému nemění. Chápu tedy, že determinant obou matic je stejný.
Není mi však už jasné, jak od pohledu zjistím, že ten determinant je dělitelný 17. Můžeš mi to trošku přblížit?

edit: Zapomněl jsem dodat, že písmeno E v prvním příspěvku značí pravděpodobně jednotkovou matici.

jarrro · 30. 10. 2011 21:33

↑ darkmagic:ak to značí jednotkovú maticu tak tá rovnosť neplatí
17 je preto deliteľný lebo z tretieho stĺpca vieš 17 vyňať

darkmagic · 30. 10. 2011 21:55

↑ jarrro:
Taky mi přišlo divné, aby ta rovnost platila.

Je tedy níže přiložené postačující důkaz?

FailED · 30. 10. 2011 22:08 — Editoval FailED (30. 10. 2011 22:16)

Podle toho cos už ↑ napsal: se ty determinanty rovnají.

Determinant matice je $|A|=\sum_{\pi\in S_n}\prod_{i=1}^na_{i,\pi (i)}$ a v každém tom součinu je jeden prvek z pravého sloupce, takže je každý sčítanec i determinant dělitelný 17.

$\left|\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & 357 \\ 7 & 1 & 714 \\ 4 & 7 & 476 \end{array} \right)\right| = 17\cdot \left|\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & 21 \\ 7 & 1 & 42 \\ 4 & 7 & 28 \end{array} \right)\right|$

darkmagic

↑ FailED:
Ano, já nepochybuji o tom, že se ty determinanty rovnají. Rovnají se.

Když bych determinant počítal, tak chápu, že v každém tom součinu bude jedno číslo z prav. sloupce (357, 714, 476) a že tedy výsledný součet bude dělitelný 17. Já to ale počítat nechci, protože v zadání je, že to počítat nesmím.
Že každý sčítanec bude dělitelný 17 je vlastně hned vidět a ani det. nepočítám. Takže pokuď bude každý prvek jednoho libovolného sloupce (případně řádku) dělitelný číslem n, tak pak je det. také dělitelný n. Je to pravda?

FailED · 30. 10. 2011 22:34

↑ darkmagic:

ano

darkmagic · 30. 10. 2011 22:39

↑ FailED:
Paráda, je mi to už jasné. Díky za tvůj čas.

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2011 20:23

Dokažte bez počítání determinantu, že dělitelný 17.

#2 30. 10. 2011 20:50

Re: Dokažte bez počítání determinantu, že dělitelný 17.

#3 30. 10. 2011 21:26 — Editoval darkmagic (30. 10. 2011 21:31)

Re: Dokažte bez počítání determinantu, že dělitelný 17.

#4 30. 10. 2011 21:33

Re: Dokažte bez počítání determinantu, že dělitelný 17.

#5 30. 10. 2011 21:55

Re: Dokažte bez počítání determinantu, že dělitelný 17.

#6 30. 10. 2011 22:08 — Editoval FailED (30. 10. 2011 22:16)

Re: Dokažte bez počítání determinantu, že dělitelný 17.

#7 30. 10. 2011 22:24 — Editoval darkmagic (30. 10. 2011 22:29)

Re: Dokažte bez počítání determinantu, že dělitelný 17.

#8 30. 10. 2011 22:34

Re: Dokažte bez počítání determinantu, že dělitelný 17.

#9 30. 10. 2011 22:39

Re: Dokažte bez počítání determinantu, že dělitelný 17.

Zápatí