Matematické Fórum

dominik@azet.sk

Potreboval by som poradiť s nasledujúcim príkladom: Určte 4 čísla s ktorých prvé 3 tvoria aritmetickú postupnosť a posledné 3 geometrickú postupnosť. Súčet krajných dvoch je 37 a prostredných je 36.
Ja som si to zapisal takto:
3a1+3d+3a4=73
2a1+3d=36
a1+a4=37
neviem či to je dobre...

((:-)) · 01. 11. 2011 22:41

↑ dominik@azet.sk:

Odkiaľ je tá úloha?

Aquabellla · 01. 11. 2011 22:42

↑ dominik@azet.sk:

Chvilku strpení, píšu :-)

dominik@azet.sk · 02. 11. 2011 05:59

↑ ((:-)):Od nášho profesora matematiky.

Cheop · 02. 11. 2011 08:52 — Editoval Cheop (02. 11. 2011 11:23)

↑ dominik@azet.sk:
Sestavíme několik rovnic:
1)
$a_1+a_4=37$
2)
$a_2+a_3=36$
Z rovnice 1) platí:
3)
$a_2-d+a_2\cdot q^2=37\\a_2(1+q^2)=37+d\\q^2=\frac{37-a_2+d}{a_2}$
Z rovnice 2)
$a_2+a_2+d=36\\d=36-2a_2$ - aritmetická posloupnost - dosadíme do 3)
4)
$q^2=\frac{37-a_2+36-2a_2}{a_2}\\q^2=\frac{73-3a_2}{a_2}$
5)
$a_2+a_2\cdot q=36\\a_2(1+q)=36\\q=\frac{36-a_2}{a_2}\\q^2=\frac{a_2^2-72a_2+1296}{a_2^2}$ - geometrická posloupnost
Porovnáním rovnic 4) a 5) dostaneme:
$\frac{73-3a_2}{a_2}=\frac{a_2^2-72a_2+1296}{a_2^2}\\73a_2-3a_2^2=a_2^2-72a_2+1296\\4a_2^2-145a_2+1296=0\\a_{2,1}=\frac{81}{4}\\a_{2,2}=16$
Pro $a_2=\frac{81}{4}$ - z rovnice 2) dopočteme diferenci $d$ pro arit. řadu:
$d=36-2a_2\\d=36-\frac{162}{4}\\d=-\frac{18}{4}$
Dopočteme členy $a_1$ a $a_3$ pro aritmetickou posloupnost tj:
$a_1=a_2-d\\a_1=\frac{81}{4}+\frac{18}{4}\\a_1=\frac{99}{4}$
$a_3=a_2+d\\a_3=\frac{81}{4}-\frac{18}{4}\\a_3=\frac{63}{4}$
Dopočteme kvocient $q$ geometrické řady a člen $a_4$
$q=\frac{a_3}{a_2}\\q=\frac{\frac{63}{4}}{\frac{81}{4}}\\q=\frac 79$
$a_4=a_3\cdot q\\a_4=\frac{63}{4}\cdot\frac 79\\a_4=\frac{49}{4}$

První čtveřice čísel bude:
$\left(\frac{99}{4};\,\frac{81}{4};\,\frac{63}{4};\,\frac{49}{4}\right)$
Pro $a_2=16$
$d=36-2a_2\\d=36-32\\d=4$
$a_1=a_2-d\\a_1=16-4\\a_1=12\\a_3=a_2+d\\a_3=16+4\\a_3=20$
Vypočítáme $q$ a člen $a_4$ tj:
$q=\frac{a_3}{a_2}\\q=\frac{20}{16}\\q=\frac 54$
$a_4=a_3\cdot q\\a_4=20\cdot\frac 54\\a_4=25$

Druhá čtveřice čísel je:
$(12;\,16;\,20;\,25)$

Řešení:
$\left(\frac{99}{4};\,\frac{81}{4};\,\frac{63}{4};\,\frac{49}{4}\right)\,\cup\,(12;\,16;\,20;\,25)$

PS: Zkoušku, že vyhovují obě čtveřice si už udělej sám