Matematické Fórum

jrn · 01. 11. 2011 23:08 — Editoval jrn (02. 11. 2011 09:41)

Zdravím, počítám limitu přirozené posloupnosti
$\lim_{n \to +\infty} $\frac{2n-1}{n}$^{2n}$

a pravděpodobně vede na "e na něco" ale nějak to tam hned nevidim tak sem to zkusil jinak:

vyraz přepišu na

$$\frac{2n-1}{n}$^{2n} = $\(\frac{2n-1}{n}$^2\)^n \rightarrow \frac{2n-1}{n} > 1, n>1 \rightarrow $\frac{2n-1}{n}$^{2n} > 1, n >1$

tudíž, když n jde do nekonečna, můžu z tohoto postupu usoudit, že limita bude plus nekonečno a bude to korektně? Není to "dvojité limicení" ?

Děkuji za odpověď

vanok · 02. 11. 2011 00:04 — Editoval vanok (02. 11. 2011 00:21)

↑ jrn:

Skus toto

$$\frac{2n-1}{n}$^{2n}=$2 -\frac1n$^{2n}=$ 2(1 -\frac1{2n}) $^{2n}$ ...

Srdecne Vanok

jrn · 02. 11. 2011 09:43 — Editoval jrn (02. 11. 2011 09:47)

↑ vanok:
znám ten postup, nevim proč mě to nenapadlo.. díky.
A ten muj prvni postup by se nedal obhajit?
A ještě, proč, když chci použít Texovy editor, tak po kliknutí na jakoukoliv ikonku mě to hodi zpet na hlavni stranku fora, neví někdo?

Rumburak

↑ jrn:
Tvůj původní postup je na dobré cestě, ale je potřeba ten dolní odhad výrazu $\frac{2n-1}{n}$ vzít jemněji než $\frac{2n-1}{n} > 1$ ,

např. snadno zjistíme, že pro $n \ge 2$ je

$\frac{2n-1}{n} = 2 - \frac {1}{n} \ge 2 - \frac {1}{2} = \frac {3}{2} > 1$

a odtud

$$\frac{2n-1}{n}$^{2n} \ge $\frac{3}{2}$^{2n}, n \ge 2$ .

Z poslední nerovnosti už je tvrzení o limitě levé strany (že je +oo) zřejmé (varianta věty o dvou policajtech).

Příklad $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \mathrm{e}$ ukazuje, že k tomu, aby $\lim_{n \to \infty} (a_n)^n = +\infty$ , předpokládat pouze $a_n > 1$
(kde $a_n$ se mění s $n$ ) nestačí, avšak stačí, aby pro dostatečně velká $n$ bylo $a_n \ge K > 1$ , kde K je konstanta
(nezávislá na n).