Matematické Fórum

Tom001 · 02. 11. 2011 18:27

Dobrý den, dokázal by někdo vyřešit tuto limitu: $\lim_{x\to\infty }=\frac{2^{x}}{x!}$ , nebo tuto: $\lim_{x\to\infty }=\frac{2^{x^2}}{x!}$ . Ještě bych měl dotaz, jestli je možné derivovat faktoriál. Podle mě ne, ale potom nemůžu použít L'Hospitalovo pravidlo, děkuji za odpověď.

lukaszh · 02. 11. 2011 19:56

↑ Tom001:

Nie som zástancom derivovania pri počítaní limít postupností. Faktoriál (ten základný, žiadne Gama funkcie !) je definovaný len pre prirodzené čísla rozšírené o nulu. Na existenciu derivácie potrebujeme celé okolie a nie izolovaný bod. Preto derivovať nemožno. Označme si postupnosť

$\alpha_n=2^n$

Potom zrejme

$\alpha_n=2\cdot2\cdot\cdots\cdot2<2\cdot2\cdot3\cdot4\cdots(n-1)=2\cdot(n-1)!$

Teraz môžeme ohraničiť pôvodnú postupnosť. Zdola samozrejme nulou, pretože postupnosť je postupnosť kladných čísel. Zhora podľa predchádzajúceho

$0<\frac{2^n}{n!}<\frac{2(n-1)!}{n!}\,;\;n>4.$

Teraz môžeme použiť vetu o troch limitách. Zistme, že limita poslednej postupnosti je nula, teda aj limita postupnosti v strede je nula.

Tom001 · 03. 11. 2011 09:08

↑ lukaszh:
Vypadá to, že jsi mi pomohl, moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2011 18:27

Limita

#2 02. 11. 2011 19:56

Re: Limita

#3 03. 11. 2011 09:08

Re: Limita

Zápatí