Matematické Fórum

stuart clark · 04. 11. 2011 04:24

find remainder when $5^{2000}+13^{2000}$ is divisible by $18$

Orel · 04. 11. 2011 09:06

↑ stuart clark:
$\[\begin{array}{l} {13^{2000}} = {\left( {18 - 5} \right)^{2000}} = \sum\limits_{n = 1}^{2000} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2000}\\ n \end{array}} \right){{18}^n}} {5^{2000 - n}} + {5^{2000}}\\ {5^{2000}} + {13^{2000}} = \sum\limits_{n = 1}^{2000} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2000}\\ n \end{array}} \right){{18}^n}} {5^{2000 - n}} + {2.5^{2000}} \end{array}\]$
Suma je dělitelná 18 ale další člen není dělitelný 3 a proto ani 18.

vanok · 04. 11. 2011 12:48 — Editoval vanok (04. 11. 2011 14:06)

Hi re]p230118|Orel[/re],

You do not answer the composed question.

↑ stuart clark:

We can work simply modulo 18.
Let us notice at first that $5^6 \equiv_{18}1$
What gives us the chaine of following equivalences:
$5^{2000}+13^{2000} \equiv_{18}5^{2000}+(-5)^{2000}\equiv_{18} 2*5^{6*333+2}\equiv_{18}2*5^2\equiv_{18}2*7\equiv_{18}14$

Conclusion: The remainder is 14

Sincerely Vanok

musixx · 04. 11. 2011 13:05

↑ vanok: just small correction:
$5^{2000}+13^{2000} \equiv_{18}5^{2000}+(-5)^{2000}\equiv_{18} 2\cdot5^{6*333+\color{red}{2}}\equiv_{18}2\cdot{\color{red}25}\equiv_{18}2\cdot{\color{red}7}\equiv_{18}\color{red}14$

vanok · 04. 11. 2011 14:05

Hi ↑ musixx:
Of course, thank you.
I correct my message
Sincerely Vanok

BakyX · 04. 11. 2011 16:54

Skúste dokázať niečo podobné všeobecné:

Ak sú čísla p,q dve po sebe idúce nepárne čísla, tak potom ich súčet delí číslo

$p^q+q^p$

Dokáž.

Pavel · 04. 11. 2011 17:24

↑ BakyX:

Co tak založit vlastní téma?

BakyX · 04. 11. 2011 18:04

↑ Pavel:

Hodí sa to aj k tomu..Trocha

vanok · 05. 11. 2011 01:41

Ahoj ↑ BakyX:,
Ja si myslim ze ulohy takehoto typu nepatria sem. Skor by mala byt otvorena sekcia Zaujimave ulohy z teorie cisiel.

Co sa tyka tvojho problemu. Zda sa mi ze treba pripomenut ze p >0.
A potom je pravda ze jedno jeho mozne riesenie je podobne z tym predoslym cvicenim.

Modulo p+1 mame $p^q+q^p\equiv_{p+1}(-1)^q+1^p=0$ , co da okamzite delitelnost z p+1.
Delitelnost dvomi je tiez trivialna, lebo p+q je sucet dvoch neparnych cisiel.

Ale sa mi zda ze Pavel chcel ti naznacit: jeden post=jeden problem.

Ak mas rad taketo cvicenia preco nenapises modelovu stranu na ich riesenie?

Srdecne Vanok

stuart clark · 05. 11. 2011 16:18

Thanks orel,vanok,musixx,bakyx,pavel

@vanok I wany some more Light on $p^q+q^p\equiv_{p+1}(-1)^q+1^p=0$

Thank

Matematické Fórum

#1 04. 11. 2011 04:24

remainder

#2 04. 11. 2011 09:06

Re: remainder

#3 04. 11. 2011 12:48 — Editoval vanok (04. 11. 2011 14:06)

Re: remainder

#4 04. 11. 2011 13:05

Re: remainder

#5 04. 11. 2011 14:05

Re: remainder

#6 04. 11. 2011 16:54

Re: remainder

#7 04. 11. 2011 17:24

Re: remainder

#8 04. 11. 2011 18:04

Re: remainder

#9 05. 11. 2011 01:41

Re: remainder

#10 05. 11. 2011 16:18

Re: remainder

Zápatí