Matematické Fórum

Klainer · 04. 11. 2011 18:54

Dobrý den, ve škole jsme začali probírat relace, ovšem některé věci mi unikly a proto se tedy ptám.
Jak jsou definovány relace ekvivalence, kdy můžeme o relaci říci, že je ekvivaletní, když je zadán definiční obor D prvků relace. Musí potom daná relace platit pro každý prvek z množiny D, nebo stačí aby platila pro jediný prvek ?.

Mate mě totiž řešení následujícího příkladu:
Pro každé dva nenulové vektory (x,y,z),(a,b,c) náleží do $\mathbb{R}^{3}$ \ (0,0,0) platí (x,y,z)R(a,b,c) $\Leftrightarrow$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=n(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Určete jaké vlastnosti má relace R.
(a) Pro nějaké n náleží do N_{0}
(b) pro nějaké n náležící do $\mathbb{R}$

V otázce je napsáno nějaké, ovšem mě zajímá co by se stalo kdyby tam to nějaké nebylo. Tzn platilo by to pro celý definiční obor.

Možná to pujde více vystvětlit na jiném příkladu nebo jen obecně. Nemám v tom moc jasno.

Další příklad u které mi to neni moc jasné:

Každá dvě komplexní čísla a+bi,x+yi jsou v relaci R, pokud $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ Je R částečným uspořádáním na množině komplexních čísel ? Pokud ano nalezněte minimální prvek.

Když jsem si zjistoval symetričnost, jen jsem si dosadil do dané relace nějaké číclo z $\mathbb{R}$ pro to číslo ta neni symetrická ale pokud jsem si dosadil za vsechno čislo 1 tak symetrická je. Jak to tedy je, navzzájem se mi to vylučuje :).

Moc děkuji za trpělivost a případne rady

((:-)) · 04. 11. 2011 19:08 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 21:34)

↑ Klainer:

Ja neviem - ale hovoríš o vlastnosti r e l á c i e...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Klainer · 04. 11. 2011 19:15

Takže dle této definice vyplívá, že u tphp mého druhho příkladu relace není symetrická jelikož je symetrická jen "v jednom bodě" ale né na celém definičním oboru ?

((:-)) · 04. 11. 2011 19:30 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 21:33)

↑ Klainer:

Ja myslím, že to je logické, dúfam, že Ťa nepletiem...

Tie predpisy sa týkajú dĺžky vektorov, ktorými sa v Gaussovej rovine znázorňujú komplexné čísla.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Klainer · 04. 11. 2011 19:43

Děkuji mnohokrát za grafické znázornění, dle tvoji kresby je to jiz opravdu logické. Jeste mě ale mate příklad první, kdyby byl někdo tak hodný a naznacil mi resení symetrie antisimetrie a reflexivity, budu mít v této problematice uz asi jasno.

Jeste jednou děkuji za váš čas

((:-)) · 04. 11. 2011 19:58 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 19:59)

↑ Klainer:

Myslím, že to spojenie " nejaké n " znamená, že také n existuje.

Rozdiel bude napríklad v symetrii - ak

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=n(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ pre nejaké prirodzené n, tak to určite neznamená, že aj

$a^{2}+b^{2}+c^{2} = n'(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ pre nejaké (iné) prirodzené n'.

S reálnymi n je to ale pri určovaní symetrickosti relácie iné.

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=n(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ pre nejaké reálne n, potom určite aj

$a^{2}+b^{2}+c^{2} = n'(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ pre nejaké (iné) reálne číslo $n'= \frac 1n$ .

Klainer · 04. 11. 2011 20:09

Moc jsem to z výše zmíněného nepochopil. Taky mě mate to že když dám např reálné číslo -9, tak zmíněná rovnost nemá vubec ani smysl.

petrkovar · 04. 11. 2011 20:58

↑ Klainer:Možná bude zadání lépe rozumět, pokud zadání přeformuluji tak, že věta "určete vlastnosti relace R" bude až na konci.
Samozřejmě můžete zkusit dosadit $n=-9$ . Rovnost však nikdy pro $n=-9$ nenastane.
Spíš se máte ptát, jaké $n$ zvolit, aby pro dané vektory $(a,b,c)$ a $x,y,z$ rovnost nastala. Někdy takové $n$ najít jde a někdy nejde.

P.S. měl bych vlákno přesunout do sekce DIM.

((:-)) · 04. 11. 2011 21:37 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 23:57)

↑ Klainer:

Myslím, že je to tak, že

$(x,y,z)R(a,b,c)$

práve vtedy, ak existuje také (a)prirodzené, b)reálne) n, že

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=n(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

A potom skúmaš vlastnosti tej relácie.

O symetrii som písala - v prirodzených číslach vo všeobecnosti nie je, ale v reálnych áno (za daných podmienok)...

Matematické Fórum

#1 04. 11. 2011 18:54

DIskretní matematika - Relace

#2 04. 11. 2011 19:08 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 21:34)

Re: DIskretní matematika - Relace

#3 04. 11. 2011 19:15

Re: DIskretní matematika - Relace

#4 04. 11. 2011 19:30 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 21:33)

Re: DIskretní matematika - Relace

#5 04. 11. 2011 19:43

Re: DIskretní matematika - Relace

#6 04. 11. 2011 19:58 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 19:59)

Re: DIskretní matematika - Relace

#7 04. 11. 2011 20:09

Re: DIskretní matematika - Relace

#8 04. 11. 2011 20:58

Re: DIskretní matematika - Relace

#9 04. 11. 2011 21:37 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 23:57)

Re: DIskretní matematika - Relace

Zápatí