Matematické Fórum

šidlo · 04. 11. 2011 21:04

potřebuji poradit Pomocí výpočtu $\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}}{4}*(1+\sqrt{3)}$
se má zrčit
a) $\cos \frac{\pi }{24}$
b) $\sin \frac{\pi }{4}$

((:-)) · 04. 11. 2011 21:18 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 21:22)

↑ šidlo:

$\color{red}\cos \frac{\pi }{12}\color{black}=\cos $2\cdot \frac {\pi }{24}$ = \cos^2\frac{\pi}{24}-\sin^2\frac{\pi}{24}=\cos^2\frac{\pi}{24}-(1-\cos^2\frac{\pi}{24})=\color{red}2\cos^2\frac{\pi}{24}-1$

Z toho:

$\color{blue}\cos \frac{\pi }{24}=\sqrt {0,5 $1+\cos \frac{\pi }{12}$}$

šidlo · 05. 11. 2011 09:53 — Editoval šidlo (05. 11. 2011 15:54)

↑ ((:-)): Děkuji za příklad. Dosadila jsem a vyšlo mi to.
U toho dalšího příkladu
$\sin \frac{\pi }{4}=\sin 3*\frac{\pi }{12}$
nevím jak dále.

Potřebovala bych prosím poradit ještě s třemi příklady:
1.
$\cos (3x+\pi )=\frac{1}{2}$ počítáme v intervalu $\langle0,\pi \rangle$
zavedla jsem substituci $\cos y=\frac{1}{2}$ a vyšlo $y1=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ $y2=\frac{5 }{3}\pi +2k\pi$
pro y1 vyšel výsledek $x1=\frac{4}{9}\pi +\frac{2}{3}k\pi$
pro y2 vyšel výsledek $x2=\frac{5}{3}\pi$
ještě měl vyjít výsledek $x3=\frac{8}{9}\pi$ , ale nevím z čeho se vychází tady potřebuji poradit

((:-)) · 05. 11. 2011 09:58 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 11:21)

↑ šidlo:

Ahoj - nepoteším Ťa.

Môžem sa venovať Tvojím príkladom (už ich aj mám - všetky), ale ja sa snažím podporovať dodržiavanie pravidiel fóra, kde sa jasne uvádza, že každá úloha patrí do novej témy.

Ak tie príklady rozhodíš, môže si ich všimnúť viac ľudí a aj reakcie budú prehľadnejšie...

Príklad b):

Neviem, či som to robila najjednoduchšie, ale použila som vzťah $\cos3x=\cos(2x+x)$ .

Keď som ho zapísala, upravila a dosadila $\cos x = \frac{\sqrt 2}{4}(1+\sqrt 3)$ , vyšiel mi vzťah pre $\cos \frac {\pi}{4}$ .

Tento vzťah sa dá dosadiť do $\sin^2 x+\cos^2 x = 1$ ...

Tu je chyba, ale možno len pri prepisovaní:

Ak dosadíš v druhom y za k jednotku, dostaneš uvedený výsledok, ktorý sa Ti nezdá...

šidlo · 05. 11. 2011 15:01 — Editoval šidlo (05. 11. 2011 15:19)

$\sin \frac{\pi }{4}=$ Zkoušela jsem to tak už počítat, ale někde mám chybu. Můžeš se podívat na můj postup. $\cos \frac{\pi }{4}=\cos 3\frac{\pi }{12}$
provedla jsem substituci $x=\frac{\pi }{12}$
$\cos(2x+x)=\cos 2x*\cos x-\sin 2x*\sin x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)*\cos x-2\sin ^{2}\cos x=$
$=\cos ^{3}x-\sin ^{2}x\cos x-2\sin ^{2}x\cos x=$ dosadila jsem $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$
$=\cos ^{3}x-\cos x+\cos ^{3}x-2\cos x+2\cos ^{3}x=$
$=4\cos ^{3}x-3\cos x$
$\sin^{2} \frac{\pi }{4}=1-(4\cos^{3}x-3\cos x)^{2}$
$\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{1-(4\cos^{3}x-3\cos x)^{2}}$
$\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{1-(\sqrt{2}*(1+\sqrt{3})-\frac{3*\sqrt{2}}{4}*(1+\sqrt{3}))^{2}}$
$\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{1-2*(1+\sqrt{3})^{2}*(1-\frac{3}{4})^{2}}$
$\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{1-\frac{1}{8}*(1+\sqrt{3})^{2}}$

Někde mám chybu výsledek je zapsán ve výsledku takto $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\frac{\sqrt{2}}{2}*(1+\sqrt{3})}$
Poradíte mi prosím.

((:-)) · 05. 11. 2011 15:12 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 15:25)

↑ šidlo:

$\sin^{2} \frac{\pi }{4}=1-\color{red}(4\cos^{3}x-3\cos x)$

To červené má byť asi na druhú.

A naozaj je taký výsledok pre $\sin \frac{\pi}{4}$ ?

Počítala som to ináč, ale podľa mňa $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}$ ...

šidlo · 05. 11. 2011 15:21

Všimla jsem si toho, že to nemám na druhou a přepočítala a zase nic. Špatný výsledek. Přepsala jsem to. Nahoře je to opravené.

((:-)) · 05. 11. 2011 15:29 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 15:33)

↑ šidlo:

Hodnota $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}$ .

Keď dosadím do toho knihového (?) výsledku čísla, nedostanem $\frac{\sqrt 2}{2}$ , ale nekontrolovala som.

Podľa môjho postupu vyšiel využitím zadaného vzťahu $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}$ .

To som potom dosadila do vzťahu $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ a vyšiel mi rovnako aj sinus 45°.

Idem ešte raz skontrolovať ten výsledok, čo je akože správny. Ak nie je, nebudem sa tým zaoberať.

Nie je správny.

Buď je zle zapísaný výsledok, alebo patrí k inému príkladu.

((:-)) · 05. 11. 2011 18:04 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 20:19)

↑ šidlo:

Vzťah mi vyšiel rovnako ako Tebe: $\cos 3x=4\color{red}\cos ^{3}x\color{black}-3\color{blue}\cos x$

Potom som dosadila vzťah zo zadania:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A teraz dosadiť do klasického vzťahu pre súčet druhých mocnín sinusu uhla a kosínusu uhla.

šidlo · 05. 11. 2011 20:16

Taky jsem se dobrala stejného výsledku. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 04. 11. 2011 21:04

Goniometrie

#2 04. 11. 2011 21:18 — Editoval ((:-)) (04. 11. 2011 21:22)

Re: Goniometrie

#3 05. 11. 2011 09:53 — Editoval šidlo (05. 11. 2011 15:54)

Re: Goniometrie

#4 05. 11. 2011 09:58 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 11:21)

Re: Goniometrie

#5 05. 11. 2011 15:01 — Editoval šidlo (05. 11. 2011 15:19)

Re: Goniometrie

#6 05. 11. 2011 15:12 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 15:25)

Re: Goniometrie

#7 05. 11. 2011 15:21

Re: Goniometrie

#8 05. 11. 2011 15:29 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 15:33)

Re: Goniometrie

#9 05. 11. 2011 18:04 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 20:19)

Re: Goniometrie

#10 05. 11. 2011 20:16

Re: Goniometrie

Zápatí