Matematické Fórum

Sulfan · 05. 11. 2011 14:34

Ahoj,
chtěl bych se zeptat, jak si můžu názorně představit množinu všech lineárních zobrazení. Z definice lineárního zobrazení jsem odtušil, že LZ přiřazuje vektoru vektor tak, aby platila aditivita a homogenita, tudíž jde o speciální zobrazení, které má právě tyto dvě vlastnosti (našel jsem příklady jako zrcadlení podle osy prvního a třetího kvadrantu při $\mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}$ ^2, případně středová souměrnost podle počátku).

Pokud vezmu tedy středovou souměrnost podle počátku v $\mathbb{R}^2$ tak vektoru
$(0,1)$ přiřadím vektor $(0,-1)$ , nebo $(1,1)$ vektor $(-1,-1)$ a zároveň tedy platí, že:
$(0,1)+(1,1)=(1,2)$ který se zobrazuje na $(-1,-2)$ a zároveň je součet obrazů $(0,-1)+(-1,-1)=(-1,-2)$ .

Zádrhel ale nastává, když definují množinu všech lineárních zobrazení takto:

Množinu všech lineárních zobrazení $P \rightarrow Q$ značíme $L(P,Q)$ . Operace definujeme:
$\left (\forall A,B \in L(P,Q) \right )\left (\forall \overrightarrow{x} \in P \right )\left ((A+B)\overrightarrow{x}=A \overrightarrow{x} + B \overrightarrow{x} \right )$
$\left (\forall \alpha \in T \right ) \left (\forall A \in L(P,Q) \right ) \left ((\alpha A) \overrightarrow{x} = \alpha A \overrightarrow{x} \right )$

U této definice se mi nedaří vůbec představit si, co by mohla říkat, chtěl bych proto poprosit, o nějaké naťuknutí nebo příklad, jak to chápat.

Děkuji.

Stýv · 05. 11. 2011 14:48

Sulfan napsal(a):
Zádrhel ale nastává, když definují množinu všech lineárních zobrazení takto:

oni ale nedefinují množinu lineárních zobrazení, tu už máš. oni na ní jenom definují operace sčítání zobrazení a násobení zobrazení číslem

Sulfan · 05. 11. 2011 14:54

↑ Stýv: Co tedy znamená $L(P,Q)$ ?

Stýv · 05. 11. 2011 15:59

↑ Sulfan: to je jenom označení množiny všech lineárních zobrazení

Sulfan · 05. 11. 2011 17:44 — Editoval Sulfan (05. 11. 2011 17:47)

↑ Stýv: Tudíž bych chápal, že je to hodně neformálně něco takového:
$L(P,Q)= \{ \text{zrcadlení podle osy prvního a třetího kvadrantu , souměrnost podle počátku, rotace}, ... \}$

A tudíž když necháme na vektor působit dvě různá taková zobrazení (které přijdou z $L(P,Q)$ ) , tak to je totéž, jako kdybychom nechali na ten vektor působit to první, potom to druhé a následně oba vektory sečetli. A pokud budeme zobrazení násobit číslem z tělesa pak je to totéž, jako kdybychom působili tím zobrazením a nakonec ho vynásobili tím číslem, že?

vanok · 05. 11. 2011 18:00

↑ Sulfan:
Pre mna je tazko pochopit o co ti vlastne ide.
Tato poznamka ti mozno pomoze.
Kazda linearna applikacia sa representuje vdaka maticam ( presnosti si pozri v poznamkach z prednasok )
Studium tychto matic ti moze dat informacie co hladas

Srdecne Vanok

Sulfan · 05. 11. 2011 18:38 — Editoval Sulfan (05. 11. 2011 18:39)

↑ vanok: Matice jsme ještě neprobírali, toto jim předchází.
Snažím se pochopit, co je to ta množina všech lineárních zobrazení.

OiBobik

↑ Sulfan:

(Asi jen zopakuju, co říkal ↑ Stýv:, ale třeba to pomůže)

Lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory je definováno za pomoci homogenity a aditivity, tak, jak to chápeš.

Množina lineárních zobrazení mezi vp P a Q je zkrátka množina $\{f|f:P\rightarrow Q, f \text{ je lineární zobrazení}\}$ . Ve tvém případě se značí $L(P,Q)$ .

To, co máš dále definováno, jsou operace na lineárních zobrazeních pomocí operací na onom vektorovém prostoru. Tedy je tam řečeno, co je součet dvou lineárních zobrazení nebo alfa-násobek lineárního zobrazení. Dále se dá totiž ukázat, že tato lineární zobrazení sama o sobě tvoří vektorový prostor.

(Zkus si ověřit, že takto definovaný alfa-násobek libovolného lineárního zobrazení je zase lineární zobrazení, stejně tak součet lineárních zobrazení, příp. další axiomy vektorového prostoru.)

Pozn: Pokud jste ještě matice neprobírali, je ono značení lineárních zobrazení v té druhé definici (tedy té definici operací na L(P,Q)) poněkud nešťastné - $A\vec{x}$ totiž značí lineární zobrazení A aplikované na vektor $\vec{x}$ , tedy, v klasickém "funkčním" značení, by se o dalo napsat jako $A(\vec{x})$ .

Sulfan · 05. 11. 2011 18:57

↑ OiBobik: Díky, začal jsem to pomalu chápat. Zkusím si dokázat vektorový prostor - měl bych tedy zkoumat - jestli je neprázdný, uzavřený na operace, na sčítání a další axiomy.

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2011 14:34

Množina všech lineárních zobrazení

#2 05. 11. 2011 14:48

Re: Množina všech lineárních zobrazení

Sulfan napsal(a):

#3 05. 11. 2011 14:54

Re: Množina všech lineárních zobrazení

#4 05. 11. 2011 15:59

Re: Množina všech lineárních zobrazení

#5 05. 11. 2011 17:44 — Editoval Sulfan (05. 11. 2011 17:47)

Re: Množina všech lineárních zobrazení

#6 05. 11. 2011 18:00

Re: Množina všech lineárních zobrazení

#7 05. 11. 2011 18:38 — Editoval Sulfan (05. 11. 2011 18:39)

Re: Množina všech lineárních zobrazení

#8 05. 11. 2011 18:46 — Editoval OiBobik (05. 11. 2011 19:21)

Re: Množina všech lineárních zobrazení

#9 05. 11. 2011 18:57

Re: Množina všech lineárních zobrazení

Zápatí