Matematické Fórum

Jozef3 · 05. 11. 2011 19:43

Ahoj, všichni.
Dovolil bych si vás požádat o drobnou pomoc s úkolem z algebry. Jde o to, že potřebuji najít reálnou čtvercovou matici řádu 3, která se po umocnění na třetí rovná jednotkové matici, přičemž ta původní matice samozřejmě nesmí být jednotková. Stejně tak potřebuji najít matici řádu 4 (rovněž nejednotkovou), aby se po umocnění na třetí rovněž rovnala jednotkové matici.
Existují vůbec takové matice? Pokud ano, tak jaké?
Moc vám děkuji za ochotu a jakékoliv nápady a omlouvám se, že jsem takové tele a nemohu na to přijít sám.

Phate · 05. 11. 2011 19:45

Kdyz budes postupovat od konce, cim musis umocnit matici, abys dostal jednotkovou matici?

Jozef3 · 05. 11. 2011 20:05

↑ Phate: Že by nulou?

Phate · 05. 11. 2011 20:18

↑ Jozef3:
Tak to asi ne :)
Co vyjde ze soucinu matice A se svou inverzni matici?

Stýv · 05. 11. 2011 20:39

↑ Phate: asi ses špatně zeptal;)

Phate · 05. 11. 2011 20:42

↑ Stýv:
Aha, ted na to koukam, tak to se omlouvam ↑ Jozef3:. Misto umocnit melo byt vynasobit.

Jozef3 · 05. 11. 2011 20:43

↑ Phate: Jednotková matice.

Phate · 05. 11. 2011 20:50 — Editoval Phate (05. 11. 2011 20:50)

Nerad bych nejak matl, protoze jsi nejsem 100% jisty, kdyztak me nekdo opravte.

Takze kdyz vis, ze ten posledni soucin A*A v A na treti musi byt jednotkova matice, tak jak si to umocneni na treti(A*A*A) muzes prepsat?

Jozef3 · 05. 11. 2011 20:58

↑ Phate: Jako A*(A*A) a jelikoz (A*A) musí být jednotková matice, tak si to mohu napsat jako A*I (I značí jednotkovou matici) a musel bych tedy najít takovou matici A, která po vynásobení s jednotkovou maticí dá jednotkovou matici? Takže není možné najít takovou matici A, pokud není jednotková?

Phate · 05. 11. 2011 21:01

↑ Jozef3:
Ano, to by melo byt spravne.

Jozef3 · 05. 11. 2011 21:02

↑ Phate: Pokud to správně vskutku je, tak moc děkuji.

Stýv · 05. 11. 2011 21:09

↑ Phate: ale ono má platit A^3=I, ne A^3=A

OiBobik

↑ Jozef3:

Určitě taková matice existuje (mám jednu jak pro případ 3x3, tak 4x4).

Tady těžko udat nějaký algoritmický postup (alespoň já teda nevím), no a když člověk neví, je dobré si zkusit nějaké ty nutné podmínky.

Co můžeme říci o determinantu matice, která je řešením (z věty o determinantu součinu matic)?

// mimochodem, hezký příklad. : )) chci se zeptat, ten úkol je do lineární algebry, nebo do "obecné" algebry?

vanok · 06. 11. 2011 00:28 — Editoval vanok (06. 11. 2011 14:58)

Ahoj↑ Jozef3:

Pokracujem v ceste do ktorej ta nasmeroval ↑ Stýv:
a co aj podla mna je velmi dobra myslienka.

Akoze mam rad equivalencie :-) tak
$A^3 =I$
je equivalentne z
$A^3 -I= 0$
a este aj z
$(A-I)( A^2 +A +I) =0$

Pretoze ide o realne riesenia tohto problemu take ze $A \neq I$

tak staci studovat
$A^2 +A +I =0$

Z poslednej rovnosti mozes jednoduchsie studovat ( bez viac teoretickych vlasnosti) ci takato realna matica A typu (3;3) existuje alebo nie. A pripadne ukazat aj ako je to v pripade komplexnych matic.

V pripade matic (4;4) mozes mysliet aj na quaterniony, co ste iste zaviedli realnymy maticami (4;4) na strednej skole... a potom kompletne doplnit studium polozenej otazky.

Srdecne Vanok

Jozef3 · 06. 11. 2011 11:00

↑ OiBobik: Z lineární algebry.

OiBobik

↑ vanok:

chybka v úvaze:
mám-li maticovou rovnici
$A\cdot B=0$ a vím, že $A \neq 0$ ,

tak z toho ještě nutně neplyne, že $B=0$ . tedy ta ekvivalence posledních dvou rovnic tam nenastává

(už opraven původní příspěvek, tak to tu asi nedává tak moc smysl, ale pravda to je, tak to tu nechám)

(snadno lze ověřit, že součin dvou nenulových matic může být nulový)

(píšu to hlavně proto, že mám mnohem jednodušší (a reálné) řešení, než nějaké komplexní či kvaternionové matice, což, jestli jsem tě dobře pochopil, ty naznačuješ, že jsou zamýšlená řešení)

vanok · 06. 11. 2011 12:08

Ahoj ↑ Jozef3:,
Akoze Tex nefunguje, skus editovat tie ? a ak mozes citat co som pisal...

Ahoj ↑ OiBobik:, to by som rad videl taku realnu matice co si nasiel. Dakujem.

Srdecne Vanok

FailED · 06. 11. 2011 12:23 — Editoval FailED (06. 11. 2011 12:38)

Zdravím,

↑ Jozef3: těžko radit když nevím, co jste probrali.

Z Cayley-Hamiltonovy věty je každá čtvercová matice kořenem svého charakteristického polynomu, stačí najít (nejednotkovou) matici, která má charakteristický polynom $\lambda^3-1=0$ . Tomu vyhovuje matice společnice.

001
100
010

Kterou jde jednoduše rozšířit na matici 4x4:

0010
1000
0100
0001

OiBobik

↑ FailED:

To jsou přesně (typově) ty matice, které jsem měl na mysli (jen jsem chtěl nechat kolegu Jozefa3, aby si nad tím ještě trochu zapřemýšlel, když je to jeho úkol).

Pro zajímavost:

Dá se na to přijít bez znalosti oné věty - stačí si uvědomit, že násobení lib. čtvercové matice daného řádu zleva maticemi tohoto typu (tj čtvercové matice, které mají v každém a řádku a sloupci právě jednu 1 a jinak samé 0) odpovídá ekvivalentní úpravě "přepermutování řádků" podle nějaké permutace $\pi$ . Pak k-tá mocnina takové matice odpovídá k-krát složené permutaci \pi. no a stačí tedy najít takovou matici, která odpovídá nějaké takové permutaci $\pi$ , že ${\pi}^3=\text{id}$ , což je konkrétně nějaký trojcyklus (což jsou shodou okolností obě tebou zmiňované matice).

FailED · 06. 11. 2011 13:40

↑ OiBobik:

Jasně, tady se vyplatí si na permutační matice vzpomenout :)

Poznámka:
tu podmínku dokonce splňují i některé matice řádu 2, např.
0 -1
1 -1

vanok · 06. 11. 2011 14:57 — Editoval vanok (06. 11. 2011 14:59)

Ahoj ↑ OiBobik:,

Moj prispevok som v rychlosti napisal a po precitani som chcel ho upravit, ale vdaka nejakemu nocnemu PIRATSKEMU UTOKU som uz nemohol editovat moje veldielo
... ktore som teraz upravil ako som predvidal vcera ... (ja tu pisem tu bez papieru a po precitani reeditujem ak treba...)
A nemaj strach vlasnosti matic poznam aspon tak ako aj ty.
A prist k rieseniu vdaka $A^2 +A +I =0$ je prirodzena cesta pre niekoho kto zacina studovat matice, a chce ostat v realnych maticach.

Poznamenavam ze si spatne cital co som pisal o quaternionoch

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

... a o komlexnych maticach som nepovedal ani slovo, lebo som vobec nechcel vyst z realneho domenu...cize nase cesty su podobne lebo islo ako u teba a aj u mna o realne matice..
a co je jednoduchsie to je ina otazka : ak niekto pozna quaterniony (definovane pomocou realnych matric typu (4,4) )tak asi moja metooda sa mu bude zdat prirodzena
a ak niekto pozna matice permutacii, tak iste tvoje metoda sa mu bude zdat jednoduchsia
a ak niekto nepozna ani jedno a ani druhe tak neviem .....

Srdecne Vanok

The respect, the politeness are essential qualities.
Do not judge the other one

OiBobik

↑ vanok:

Ahoj,

to jsem špatně pochopil tvůj záměr. Já jsem zkrátka viděl chybu, tak jsem tě na ni chtěl upozornit (a jestli se tě to nějak dotklo, tak se omlouvám, nebyl tím míněn žádný špatný úmysl, i poznámka "jednodušší řešení" byla myšlena "co do tvaru matice", nikoli "co do postupu").

Pakliže jsi ovšem nikdy neměl na mysli vyjít z oboru reálných matic, pak nechápu poznámku ↑ vanok:.

Zdravím

vanok · 06. 11. 2011 15:24

Ahoj ↑ OiBobik:,
ja som tiez partizan konstrructivneho dialogu :-)
len tak pre zaujimavost cital si co som pisal tu ↑ vanok:, lebo ma prekvapuje ze nikto nereaguje

Srdecne Vanok

The respect, the politeness are essential qualities.
Do not judge the other one.

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2011 19:43

Mocnění matic

#2 05. 11. 2011 19:45

Re: Mocnění matic

#3 05. 11. 2011 20:05

Re: Mocnění matic

#4 05. 11. 2011 20:18

Re: Mocnění matic

#5 05. 11. 2011 20:39

Re: Mocnění matic

#6 05. 11. 2011 20:42

Re: Mocnění matic

#7 05. 11. 2011 20:43

Re: Mocnění matic

#8 05. 11. 2011 20:50 — Editoval Phate (05. 11. 2011 20:50)

Re: Mocnění matic

#9 05. 11. 2011 20:58

Re: Mocnění matic

#10 05. 11. 2011 21:01

Re: Mocnění matic

#11 05. 11. 2011 21:02

Re: Mocnění matic

#12 05. 11. 2011 21:09

Re: Mocnění matic

#13 05. 11. 2011 22:24 — Editoval OiBobik (05. 11. 2011 22:46)

Re: Mocnění matic

#14 06. 11. 2011 00:28 — Editoval vanok (06. 11. 2011 14:58)

Re: Mocnění matic

#15 06. 11. 2011 11:00

Re: Mocnění matic

#16 06. 11. 2011 12:04 — Editoval OiBobik (06. 11. 2011 14:58)

Re: Mocnění matic

#17 06. 11. 2011 12:08

Re: Mocnění matic

#18 06. 11. 2011 12:23 — Editoval FailED (06. 11. 2011 12:38)

Re: Mocnění matic

#19 06. 11. 2011 13:11 — Editoval OiBobik (06. 11. 2011 14:52)

Re: Mocnění matic

#20 06. 11. 2011 13:40

Re: Mocnění matic

#21 06. 11. 2011 14:57 — Editoval vanok (06. 11. 2011 14:59)

Re: Mocnění matic

#22 06. 11. 2011 15:09 — Editoval OiBobik (06. 11. 2011 15:15)

Re: Mocnění matic

#23 06. 11. 2011 15:24

Re: Mocnění matic

Zápatí