Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 11. 2011 17:37

Blujacker
Místo: Praha
Příspěvky: 82
Reputace:   
Web
 

Kombinatorika

Ahoj,

mám pár problému s jedním příkladem na kombinace.

Mějme řetězec TESTOVACIRETEZEC (délka = 16)
a) Kolika způsoby lze řetězec zpermutovat (s opakováním)?
b) ) Kolik existuje permutací (s opakováním) písmen tohoto řetězce, v nichž
první nebo poslední nezůstane na svém místě?
c)  Kolik existuje třípísmenných řetězců bez opakování, které jdou z písmen tohoto řetězce sestavit?
d)  Kolik existuje dvoupísmenných řetězců, které lze z písmen tohoto řetězce sestavit? Povolíme opakování, ale pouze těch písmen, která se opakují i v předchozím řetězci


a) Standardně je počet permutací $n!$, ale jelikož to mají být permutace s opakováním, asi musím použít jiný vzorec. Našel jsem $P = \frac{(\sum_{i=1}^{k}n_i)!}{\prod_{i=1}^{k}n_i!}$, ale moc nevím jak ho použít. Čemu odpovídá např. $n_0$? První písmeno řetězce je T, to není číslo, takže mám použít vztah, že $n_i=i$?

b) Pokud to dobře chápu, tak vezmu první písmeno a prohodím ho s jakýmkoliv jiným znakem (15) možností. To stejné pro poslední znak a proto je výsledek 15*15 = 225

c)  ${16 \choose 3}$

d) Dvoupísmenných řetězců je ${16 \choose 2}$, ale je povoleno opakování znaků, které jsou v předchozím řetězci. Nevím ovšem, co se myslí tím předchozím řetězcem. Napadá mě pouze, že druhý znak může být stejný jako druhý



Mohli byste mě nějak nakopnout? Jak postupovat dále, popř. kde dělám chybu?

Děkuji


Navštivte portál Matematika pro každého! http://maths.cz

Offline

 

#2 05. 11. 2011 20:23

Jookyn
Místo: Mar. Lázně / Praha
Příspěvky: 143
Reputace:   11 
 

Re: Kombinatorika

Ahoj,

a) $n_{i}$ znamená počet výskytů jednoho písmena v původním řetězci. Tzn vektor n z původního řetězce vypadá takhle: (2, 4, 1, ...) protože jsou ve slově 2T, 4E, 1S atd. Takže pak se jen dosadí do vzorečku a bude to jednoduše vycházet

b) Tady se použije výsledek z a) a odečte se od toho možnost, které do výsledku nepatří, což jsou typu permutace: T***...***C, protože tam zůstalo na prvním a posledním místě původní písmeno. A kolik je daných permutací se spočítá stejně jako v a), jen se z toho vektoru odebere 1T a 1C a pak již úplně stejně.

c) Není to ${16 \choose 3}$, ale pouze ${10 \choose 3}$, protože máme k dispozici pouze 10 různých písmen, další už se opakují a řetězec má být bez opakování.

d) Šel bych na to takhle: Prvně si vezmu všechny dvojpísmenné řetězce bez opakování, což je ${10 \choose 2}$ protože máme 10 různých písmen k dispozici. A pak bych k tomu přičetl 3 možnosti s opakováním, což budou řetězce TT, EE, CC.

Offline

 

#3 07. 11. 2011 15:42

Blujacker
Místo: Praha
Příspěvky: 82
Reputace:   
Web
 

Re: Kombinatorika

Díky moc.. Mohu poprosit o kontrolu? :-)
1) Vektor mi vyšel (3,4,1,1,1,1,2,1,1)
$P_1 = \frac{(\sum_{i=1}^{k}n_i)!}{\prod_{i=1}^{k}n_i!}=\frac{15!}{3!\cdot4!\cdot2!}$

2) upravil jsem vektor tak, aby tam bylo o T a C méně. Takže mi vyšlo (2,4,1,1,1,1,1,1,1)
$P = P_1- \frac{(\sum_{i=1}^{k}n_i)!}{\prod_{i=1}^{k}n_i!}=\frac{15!}{3!\cdot4!\cdot2!}-\frac{13!}{4!\cdot2!}$

3)${10 \choose 3} = 120$

4) To poslední jsem moc nepochopil, je to tedy takto: ${10 \choose 2}+3=  123$

Ještě jednou moc děkuji


Navštivte portál Matematika pro každého! http://maths.cz

Offline

 

#4 07. 11. 2011 23:38

Jookyn
Místo: Mar. Lázně / Praha
Příspěvky: 143
Reputace:   11 
 

Re: Kombinatorika

Řekl bych, že je to správně.

Offline

 

#5 08. 11. 2011 00:11

pf
Příspěvky: 60
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ Jookyn:
Výsledky c), d) správně nejsou, protože počítají počet podmnožin, nikoli řetězců.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson