Matematické Fórum

Tom001 · 01. 11. 2011 18:03

Dobrý den, potřeboval bych poradit s rozvojem funkce $f(x)=\frac{3x-1}{x+4}$ . Nejspíš je možné postupovat více způsoby. Je správné rozložit si výraz na dva zlomky a upravit je na součet geometrické řady(nepřímý postup) a následně nahradit sumami, nebo je nějaká lepší cesta? Děkuji.

vanok · 02. 11. 2011 12:00

Ahoj re]p229418|Tom001[/re],

V tvojom prispevku sa da nieco ako vo hmle vidiet! Pomozem ti trochu aby slnko vyslo.

Ja by som vyuzil, ze

$\frac 1{1+X} = 1 - X +X^2 + ... (-1)^nX^n + o(X^n)$

Pozor operacie treba robit na konecnych radoch a nikdy na nekonecnych ... to je velka chyba!!!

Staci?

Srdecne Vanok

Tom001 · 02. 11. 2011 18:14

↑ vanok:

No o něčem takovém jsem psal, ale nerozumím tomu poslednímu členu oX^n. Navíc pro konečný součet tento vzorec neplatí. Takže je nejlepší postupovat tak, jak jsem napsal nebo ne? Bohužel jsem tvůj příspěvek moc nepochopil, ale děkuji.

vanok · 02. 11. 2011 18:19

↑ Tom001:
Tak si nestudoval limitovane rozvody... a nepouzivaj co si este nestudoval.
Tu mas nieco podrobne o tom

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9vel … imit%C3%A9

Ale ako obycajne treba poznat svetove jazyky.

Srdecne Vanok

PS napis co ste studovali o tejto tematike, inac sa ti neda seriozne pomoct

Tom001 · 02. 11. 2011 18:42

↑ vanok:

Kdybych něco takového studoval, tak bych se asi neptal. Stačí vysvětlit, co je to o, ale myslím si, že to musí jít i bez toho. Učili jsme se pouze Taylorův rozvoj přímý a nepřímý, tzn. dosazení do vzorce a nebo využití postupů spojených např. se součty nekonečných řad.

vanok · 02. 11. 2011 18:53

↑ Tom001:

Naco potom skakat etapy... a mas vsetko co treba k tomu na strane co som ti poslal

No dobre akoze take nestudujete tak:

Taylorova veta zo zbytkom ti moze dobre posluzit.

Napis co ty to da pre kazde n ... a budes mat tvoj vysledok.

Srdecne Vanok

Tom001 · 05. 11. 2011 22:49

↑ vanok:
Už jsem na to přišel, je to vlastně jednoduché, jen jsem měl málo času a zalekl jsem se n-té derivace, ani jsem ji nepočítal, a tak jsem si chtěl nechat poradit. Určitě to jde více způsoby, ale vyřešil jsem to díky vzorci pro nekonečnou Taylorovu řadu. Jen se mi ve výsledku neshoduje první člen. Kdybyste se někdo nudil, tak mi to prosím zkontrolujte.

Tady je můj výsledek: $\frac{5}{6}+13\cdot \sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{6^{k+1}}\cdot (x-2)^{k}$ , kde xo=2. Podle učebnice by tam místo 5/6 mělo být 3, děkuji.

Stýv · 05. 11. 2011 22:59

↑ Tom001: copak je první člen v tý sumě? (tj. pro k=0)

Tom001 · 06. 11. 2011 18:01

↑ Tom001:

Řekl bych, že -13/6.

Tom001 · 06. 11. 2011 18:14

Ale mělo by to vlastně vyjít takto $\frac{5}{6}+13\cdot \sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{6^{k+1}}\cdot (x-2)^{k+1}$ a nějak to upravit na tvar, kde je 3+........(x-2)^k.

Stýv · 06. 11. 2011 20:43

↑ Tom001: nj. kdyby to bylo 13/6, tak se to sečte s 5/6 a vyjde ti tam ta trojka... nemáš tam třeba opačně znamínka?

Tom001 · 06. 11. 2011 23:05

↑ Stýv:
Myslím, že bude chyba v učebnici. Ale stejně mi vrtá hlavou, jak se od ....(x-2)^k+1 dostanu k (x-2)^k. Děkuju.

vanok · 06. 11. 2011 23:24

↑ Tom001:,
Si to celkom dobre zvladol
Mala poznamka este : $3=\frac {18}6=\frac 56+\frac {13}6$
Cize tych $\frac {13}6$ mozes vybrat zo sumy a budes mat 3 +...., pozor ale ta nova suma zacne od k=1.
A podla mna mas takto tu druhu formu vysledku ako v knihe
Vidis aj ty a aj kniha ma pravdu. :-)

Srdecne Vanok

The respect, the politeness are essential qualities.
Do not judge the other one.

Tom001 · 07. 11. 2011 10:20

↑ vanok:

Abych to shrnul, jsem si docela jistý výsledkem $\frac{5}{6}+13\cdot \sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{6^{k+1}}\cdot (x-2)^{k}$ Nejsem si ovšem tolik jistý touto úpravou $\frac{5}{6}+13\cdot \sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k+2}}{6^{k+2}}\cdot (x-2)^{k+1}$ , což před sumou dává trojku, ale zase tam je (-1)^k+2, tedy (-1)^k a (x-2)^k+1. Nevadí, asi nemá smysl se tím zdržovat. Prvním výsledkem jsem si celkem jistý a následné úpravy buď vedou, nebo nevedou k výsledku jako v učebnici, jiná cesta není.

Rumburak · 07. 11. 2011 11:06

↑ Tom001:
Ahoj, nějak mi v tom zadání chybí specifikace středu Taylorova rozvoje. Pokud si můžeme střed zvolit, začněme úpravou
$f(x)=\frac{3x-1}{x+4} = \frac{3(x+4) -13}{x+4} = 3 - \frac{13}{x+4} = 3 - \frac{13}{4} \frac{1}{1 +\frac{x}{4}} = 3 - \frac{13}{4} \frac{1}{1 - t}$ ,

kde $t = -\frac{x}{4}$ .

Zlomek $\frac{1}{1 - t}$ pro $|t| < 1$ rozvineme do geom. řady a získáme tak "nepřímou metodou" Tayl. rozvoj funkce f
se středem v bodě 0.

vanok · 07. 11. 2011 11:23 — Editoval vanok (07. 11. 2011 11:23)

↑ Tom001:
Aj teraz obe odpovede su dokonale...a mozem ti dat posledne podrobnosti.

Nahradit k z K=k-1, je substitucia ... k=1 da K=1-1=0.... a co je trochu "zmetujuce" akoze k, K su viazane premenne mozu sa znacit ako ti napadne... tak je legitimne pouzit v oboch sumach male k.

No dobre a teraz prvy vysledok,
$\frac{5}{6}+13\cdot \sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{6^{k+1}}\cdot (x-2)^{k}=$
$3-\frac {13}6+13\cdot \sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{6^{k+1}}\cdot (x-2)^{k}$

A ak das do tvojej sumy tych $-\frac {13}6$ mas formu vysledku presne podla knihy.

Co je magicke, dobryvysledok sa da napisat viacerymy formamy: To lutujem opravovatela cvicenia... ale to sa ta netyka.

Srdecne Vanok

The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.

vanok · 07. 11. 2011 11:35

Ahoj ↑ Rumburak:,
ano, aj mna to na zaciatku trochu pomietlo, lebo son nevedel ze Tom chcel pracovat z rozvojom okolo $x_0=2$ ... a je iste ze transformacia menovatela na formu $(x-2) +6= 6*(\frac {x-2}6 +1)$
mu mohla dat odpoved o mnoho rychlejsie, ak by identifikoval ze je to suma geometrickeho radu.
Ale na zaciatku, podla textu cvicenia to som nemohol uhadnut.

Srdecne Vanok

The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.

Rumburak · 07. 11. 2011 11:51

↑ vanok:
Ahoj, že Tom prováděl rozvoj se středem v bodě $x_0=2$ , je vidět z jeho výpočtů, ale nikde explicite neuvádí,
zda takový byl požadavek nebo pouze jeho volba.
Jakási zmínka o kontrole podle učebnice, z níž by se dalo o tom něco usoudit, tam v průběhu konversace sice padla,
to jsem ale objevil až dodatečně .

Tom001 · 07. 11. 2011 19:33

↑ Rumburak:
x0=2 bylo v zadání

vanok · 07. 11. 2011 19:39

↑ Tom001:
Ano ale si to zabudol napisat
Ale nevadi sme vsetko nakoniec vyriesili

Tom001 · 08. 11. 2011 22:44

↑ vanok:

Ještě bych měl jednu otázku. Je možné považovat za součet geometrické řady $f(x)=\frac{3x-1}{x+4}$ v jiné formě? Tedy první člen by byl např (3x-1)/4 a kvocient -x/4?

vanok · 09. 11. 2011 02:09

↑ Tom001:,

Ak si cital co som pisal kolegovy tu ↑ vanok:, tak mas metodu prace.

Odpoved je ano, lebo $f(x)=\frac{3x-1}{x+4} =\frac{3x-1}4*\frac 1{\frac x4+1}$

kde $\frac 1{\frac x4+1}$ , je presne sucet geometrickeho radu o ktorom pises.

Srdecne Vanok

The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.

Tom001 · 09. 11. 2011 08:35

↑ vanok:
Děkuji, ještě se nad tou sumou zamyslím a potom to odfajfkuju.

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2011 18:03

Taylorova řada

#2 02. 11. 2011 12:00

Re: Taylorova řada

#3 02. 11. 2011 18:14

Re: Taylorova řada

#4 02. 11. 2011 18:19

Re: Taylorova řada

#5 02. 11. 2011 18:42

Re: Taylorova řada

#6 02. 11. 2011 18:53

Re: Taylorova řada

#7 05. 11. 2011 22:49

Re: Taylorova řada

#8 05. 11. 2011 22:59

Re: Taylorova řada

#9 06. 11. 2011 18:01

Re: Taylorova řada

#10 06. 11. 2011 18:14

Re: Taylorova řada

#11 06. 11. 2011 20:43

Re: Taylorova řada

#12 06. 11. 2011 23:05

Re: Taylorova řada

#13 06. 11. 2011 23:24

Re: Taylorova řada

#14 07. 11. 2011 10:20

Re: Taylorova řada

#15 07. 11. 2011 11:06

Re: Taylorova řada

#16 07. 11. 2011 11:23 — Editoval vanok (07. 11. 2011 11:23)

Re: Taylorova řada

#17 07. 11. 2011 11:35

Re: Taylorova řada

#18 07. 11. 2011 11:51

Re: Taylorova řada

#19 07. 11. 2011 19:33

Re: Taylorova řada

#20 07. 11. 2011 19:39

Re: Taylorova řada

#21 08. 11. 2011 22:44

Re: Taylorova řada

#22 09. 11. 2011 02:09

Re: Taylorova řada

#23 09. 11. 2011 08:35

Re: Taylorova řada

Zápatí