Matematické Fórum

emko02 · 06. 07. 2008 13:58

ahoj potřeboval bych pomoc s touhle limitou mě vyšlo 0...děkuji

jelena · 06. 07. 2008 14:23

↑ emko02:

Zdravim :-) vypada to OK. delal si to rozsirovanim zlomku?

Jinak si to muzes overit tady http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess … unction.en - misto a je potreba psat nejake cislo.

emko02 · 06. 07. 2008 14:34

http://forum.matweb.cz/upload/160-priklad_7_1.JPG takhle jsem to delal L´H

jelena · 06. 07. 2008 16:17 — Editoval jelena (06. 07. 2008 17:01)

↑ emko02:

Neni to uplne OK :-( pokud pouzivas l´Hospitala, tak je lepsi ponechat a, derivovat to i s ohledem na a (a povazujeme za konstantu). Ta derivace neni dobre, citatel se derivuje jako slozena funkce. Take odmocnit -x^2 tak, jak jsi provedl, je trochu "krute" :-)

V citateli by melo byt po derivovani:

-(1/2)*(-2x)/(sqrt(a^2-x^2)), jmenovatel mas v poradku ted za x dame 0 a je to v poradku (alespon doufam :-)

emko02 · 06. 07. 2008 19:50

tohle je "sqrt" to je nejspis odmocnina?:) nějak se v tom jeětě moc nevyznam:)

jelena · 06. 07. 2008 20:35

↑ emko02:

presne tak

$-\frac{1}{2}\frac{-2x}{\sqrt{a^2-x^2}}$ tak nejak ma byt citatel po derivovani.

Myslim, ze v tomto pripade opravu je vhodnejsi rozsireni zlomku (usmernovani), ale to je vec nazoru :-)

emko02 · 06. 07. 2008 20:56

děkuju..:)

Pavel Brožek · 26. 07. 2008 11:38

Na tenhle příklad pozor! Pro $a<0$ je $\lim_{x\to0}(a-\sqrt{a^2-x^2})=a-\sqrt{a^2}=a-|a|=a-(-a)=2a\neq0$ . Nejsou tedy splněny předpoklady L'Hospitalova pravidla. Díky tomu, že limita čitatele je nenulová, můžeme jednoduše upravovat:

$\lim_{x\to0^+}\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x}=2a\cdot\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=-\infty$
$\lim_{x\to0^-}\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x}=2a\cdot\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=+\infty$

limita pro $a<0$ tedy neexistuje.

Pro $a=0$ není funkce nikde definovaná, takže o limitě vůbec nemá smysl mluvit a tedy neexistuje.

Pro $a>0$ je $a+\sqrt{a^2-x^2}$ definované na nějakém okolí nuly a kladné, můžeme tedy zlomek rozšířit:

$\lim_{x\to0}\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{a^2-a^2+x^2}{x(a+\sqrt{a^2-x^2})}=\lim_{x\to0}\frac{x}{(a+\sqrt{a^2-x^2})}=\frac{0}{a+\sqrt{a^2}}=\frac{0}{2a}=0$

Limita tedy existuje pouze pro $a>0$ a je rovna nule.

jelena · 27. 07. 2008 00:20

↑ BrozekP:

Děkuji za doplnění :-)

poznámka na okraj - bylo by zajimavé vidět originál zadání (pochybuji, že by počítal s diskusi o parametru :-)

Jinak naprostý souhlas, děkuji :-)

Matematické Fórum

#1 06. 07. 2008 13:58

Limita fnc

#2 06. 07. 2008 14:23

Re: Limita fnc

#3 06. 07. 2008 14:34

Re: Limita fnc

#4 06. 07. 2008 16:17 — Editoval jelena (06. 07. 2008 17:01)

Re: Limita fnc

#5 06. 07. 2008 19:50

Re: Limita fnc

#6 06. 07. 2008 20:35

Re: Limita fnc

#7 06. 07. 2008 20:56

Re: Limita fnc

#8 26. 07. 2008 11:38

Re: Limita fnc

#9 27. 07. 2008 00:20

Re: Limita fnc

Zápatí