Matematické Fórum

erore · 06. 11. 2011 17:03

Narazil jsem na příklad, myslím, že je dost triviální, ale nemohu s ním hnout.

Jeden bruslař o hmotnosti m se pohybuje rychlostí v směrem vpravo ( $v \vec{e_x}$ ). Druhý bruslař o stejné hmotnosti se pohybuje rychlostí v směrem vlevo ( $-v \vec{e_x}$ , jejich trajektorie jsou od sebe vzdálené b. V čase t=0 jsou oba v x=0, kde chytnou tuhou tyč délky b o zanedbatelné hmotnosti. Uvažujme pro t>0 o systému jako o tuhém tělěse. Najdi trajektorii bruslaře, který je v t=0 na souřadnici y=b/2, x=0.

Řešil jsem to tak, že jsem spočetl pomocí momentů sil rotační pohyb pohyb soustavy vůči HMS a zároveň pohyb HMS, právě ten pohyb hmotného středu mi nevychází, ovšem i ten rotační pohyb jsem dostal takovým trochu podfukem. Možná je celá úvaha špatně. Ve výrazu pro sílu, kterou přenesu do HMS straší výraz $\frac{{\rm{d}}\vec{v}}{{\rm{d}}t}$ , pro t<0 je to 0, ale pro t>0 to nula být nemůže, neb by nevznikla ona dvojice sil.

Mohl by mi někdo nastínit postup, případně mezikroky. Moc děkuji případnému řešiteli.

zdenek1 · 06. 11. 2011 18:05

↑ erore:
hybnost soustavy je nulová, takže těžiště se nebude pohybovat.
moment hybnosti je $L=m\frac b2v+m\frac b2v=mbv$ když u bruslařů zanedbáváme objem. Takže celý systém bude rotovat s konstatntním $\omega$
platí $L=J\omega$ , kde $J=2m\left(\frac b2\right)^2=\frac{mb^2}2$
$mbv=\frac{mb^2}2\omega\ \Rightarrow\ \omega=\frac{2v}b$

Když zvolíme soustavu souřadnic tak, že bruslař na pozici $\left[0;\frac b2\right]$ se pohybuje vlevo, jeho trajektorie je dána rovnicí
$\begin{cases}x=\frac b2\cos\left(\frac{2v}bt+\frac\pi2\right)\\y=\frac b2\sin\left(\frac{2v}bt+\frac\pi2\right)\end{cases}$

erore · 06. 11. 2011 18:12

↑ zdenek1:

Moc děkuju, jsem trouba, napsal jsem špatně zadání, ten bruslař, co je uveden jako první se pohybuje rychlostí $2v\vec{e_x}$ (a je v t=0 na souřadnicích $[0,b/2]$ ).

Ještě jednou moc se omlouvám a děkuju, pokud si ještě najdete chvilku.

zdenek1 · 06. 11. 2011 18:39

↑ erore:
$p=2mv-mv=mv$
$2mv_T=mv\ \Rightarrow\ v_T=\frac v2$ $v_T$ je rychlost těžiště

$L=2mv\frac b2+mv\frac b2=\frac 32 mvb$
$L=J\omega$
$\frac 32 mvb=\frac{mb^2}2\omega\ \Rightarrow\ \omega=\frac{3v}b$

$\begin{cases}x=\frac b2\sin\left(\frac{3v}bt)+v_T\cdot t\\y=\frac b2\cos\left(\frac{3v}bt\right)\end{cases}$

tady trajektorie pro $b=1$ $v=1$