Matematické Fórum

Dworzaaa · 05. 11. 2011 18:37

Ahoj, muzete prosim nekdo mrknout na to, co sem sesmolil a pripadne rict, co je spatne a proc? V kombinatorice zrovna dvakrat nevynikam... :-/
Diky moc.
Zadani:
Uvazujme retezce z velkych pismen a cislic. Kolik ruznych retezcu delky 10 muzeme vyrobit za nasledujich podminek?

***Pismen 26***
***samohlasek 6***
***souhlasek 20***
***cislic 10***

a) Na první a na poslední pozici jsou písmena.
$36^8 * 26^2$

b) Na první pozici je samohláska, na druhé je souhláska a na poslední je císlice.
$6*20*36^7*10$

c) Na 3., 6. a 8: pozici jsou samolásky (ne nutne ruzné) a na zádných jiných pozicích samohlásky
nejsou.

d) Zšádná samohláska se nevyskytuje v retezci dvakrát

e) Nejvýse 4 symboly jsou císlice a zádná samohláska se nevyskytuje v retezci dvakrát.

OiBobik

↑ Dworzaaa:

Ahoj,

a) správně

b) správně

c) nějak prapodivně, nevyčísloval jsem to, ale pravděpodobně to bude špatně. Uvědom si: kolik možností je pro každý znak na ostatních pozicích? kolik možností je na každé z oněch tří určených pozic? Kdyby mi zadaly stejné podmínky, ale místo pro 3.,6. a 8. pozici mi je zadali pro 1.,2. a 3. pozici, změnil by se nějak výsledek?

d) stejně jako výše. Zde mě nenapadá momentálně nic moc elegantního, tak snad takto: Zkus si řetězce rozdělit do skupin podle toho, kolik je v řetězci celkem samohlásek. Zkus řešit pro fixní počet samohlásek v řetězci.

e) asi stejná rada jako u d). rozdělit si ty případy podle počtu číslic v řetězci a pak vždy ještě podle počtu samohlásek. (výsledek tedy bude nějaká dvojná suma)

Možná, že d) a e) jde řešit nějak elegantněji, mě teď teda nic lepšího momentálně nenapadá.
Pozn: Když budeš psát i své myšlenkové postupy, ne jen holé výsledky, budeš mít větší šanci, že ti někdo smysluplně odpoví. ; ))

Dworzaaa

Moc diky za rady. Zkusil sem se jima ridit a neco takovyho z toho vypadlo:

c) $6^3*20^7$

d) $36^{10} - (6^8 + 6^9 + 6^{10})$
~~~> vsechny moznosti - moznosti, kdy vsechny samohlasky se vyskytuji alespon 2x

e) $36^{10} - 6^{10} - (10^6 + 10^7 + 10^8 + 10^9+ 10^{10})$
~~~> vsechny moznosti - moznosti, kdy vsechny samohlasky se vyskytuji alespon 2x - moznosti, kdy retezec obsahuje alespon 6 cislic

vypada to takhle uz lip? :)

OiBobik

↑ Dworzaaa:

c) skoro dobře, akorát: když na nějaké pozici není samohláska, kolik je možností, co na té pozici může být?

d) pozor - pokud bys to chtěl řešit takto, nestačí pouze odečíst případy, kdy všechny samohlásky se vyskytují alespoň dvakrát, ale odečíst právě ty případy, kdy se alespoň jedna některá samohláska vyskytuje alespoň dvakrát - což není tak jednoduché sečíst (asi to povede na nějaký zmutovaný PIE). Proto mi přišlo jednodušší to počítat podle počtu samohlásek v řetězci a sčítat.

e) analogický problém, jako u d). Držím se rady, kterou jsem uváděl v předchozím příspěvku.

sushi · 06. 11. 2011 17:01 — Editoval sushi (06. 11. 2011 17:01)

Dobrý den.

Shodou okolností řeším stejný příklad jako kolega přede mnou. Chtěla bych se zeptat, jestli je můj postup řešení u varianty d) správný. Postupovala jsem podle Vašich rad a došla jsem k tomuto:

Pro řetězce s jednou samohláskou:
$6\cdot 30^{9} \cdot 10$ (výběr samohlásky * výběr ostatních znaků * výběr míst pro umístění samohlásky)

Řetězce se dvěma samohl.:
$6\cdot 5 \cdot 30^{8} \cdot { 10 \choose 2 }$

Stejným způsobem až pro 6 samohlásek.

Nejsem si jistá, jestli je zde opravdu třeba vybírat možnosti umístění samohlásek.

Děkuji za odpověď

OiBobik · 06. 11. 2011 17:26

↑ sushi:

Ano, je to tak, akorát ještě nezapomenout na případ "0 samohlásek"

sushi · 06. 11. 2011 18:33

Děkuji, tento případ jsem úplně vypustila.

Ještě bych měla jednu otázku. Neměla bych místo kombinace pro výběr umístění samohlásek použít spíš variaci, vzhledem k tomu, že samohlásky budou od sebe navzájem různé, tím pádem bude záležet na pořadí umístění v řetězci, nebo mám tuto možnost zajištěnou první částí výrazu?

OiBobik

↑ sushi:
uvažujme případ "k samohlásek v řetězci". Vybrat pozice, kde posléze budou samohlásky, lze (10 nad k) způsoby. Ke každému takovému výběru spočítejme, kolik řetězců s k samohláskami lze vytvořit: na první z oněch vybraných pozic lze dosadit samohlasku 6 způsoby, ke každému takovému výběru lze na druhou vybranou pozici zvolit samohlasku 5 způsoby... Až na k-tou vybranou pozici mužů dosadit (7-k) samohlásek. No a na zbylé pozice pak už nějak dotvořím ty zbylé znaky, to odpovídá tomu 30^(10-k).

Neboli krátce, ta "uspořádanost" se realizuje tím počítáním těch způsobu dosažení samohlasek. Takže je to dobře.

kvasna · 08. 11. 2011 16:43

Zdravíčko. Tak jsem postupoval podle rad a pokoušel sem se o to e) a prosil bych o kontrolu mého postupu:

Pro 0 číslic:
$20^{10} + 20^{9} \cdot 6 \cdot 10 + 20^{8} \cdot 6 \cdot 5 \cdot {10 \choose 2} + ....... + 20^{4} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdo {10 \choose 6}$

Zde není žádná číslice, a proto počítám všech 10 míst.
Vzorec je:
(Pro 0 samohlasek + pro 1 samohlasku + pro 2 samohlasky + ..... + pro 6 samohlasek)

Pro 1 číslici:
$10 \cdot 10 \cdot (20^{9} + 20^{8} \cdot 6 \cdot 9 + 20^{7} \cdot 6 \cdot 5 \cdot {9 \choose 2} + ....... + 20^{3} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdo {9 \choose 6})$

Zde je 1 číslice, a proto počítám pro 9 míst.
Vzorec je:
Počet číslic . počet míst kam lze číslici umístit . (Pro 0 samohlasek + pro 1 samohlasku + pro 2 samohlasky + ..... + pro 6 samohlasek)

Pro 2 číslice:
$10 \cdot {10 \choose 2} \cdot (20^{8} + 20^{7} \cdot 6 \cdot 8 + 20^{6} \cdot 6 \cdot 5 \cdot {8 \choose 2} + ....... + 20^{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdo {8 \choose 6})$

Zde jsou 2 číslice, a proto počítám pro 8 míst.
Vzorec je:
Počet číslic . počet míst kam lze číslici umístit . (Pro 0 samohlasek + pro 1 samohlasku + pro 2 samohlasky + ..... + pro 6 samohlasek)

Pro 3 číslice:
$10 \cdot {10 \choose 3} \cdot (20^{7} + 20^{6} \cdot 6 \cdot 7 + 20^{5} \cdot 6 \cdot 5 \cdot {7 \choose 2} + ....... + 20 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdo {7 \choose 6})$

Zde jsou 3 číslice, a proto počítám pro 7 míst.
Vzorec je:
Počet číslic . počet míst kam lze číslici umístit . (Pro 0 samohlasek + pro 1 samohlasku + pro 2 samohlasky + ..... + pro 6 samohlasek)

Pro 4 číslice:
$10 \cdot {10 \choose 4} \cdot (20^{6} + 20^{5} \cdot 6 \cdot 6 + 20^{4} \cdot 6 \cdot 5 \cdot {6 \choose 2} + ....... + 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdo {6 \choose 6})$

Zde jsou 4 číslice, a proto počítám pro 6 míst.
Vzorec je:
Počet číslic . počet míst kam lze číslici umístit . (Pro 0 samohlasek + pro 1 samohlasku + pro 2 samohlasky + ..... + pro 6 samohlasek)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Výsledkem pak bude sečtení všech možností pozic čísel.

OiBobik · 08. 11. 2011 19:12

↑ kvasna:

Zdravím,

vypadá to správně.
Upozornění: Opakuji, že nevím, jestli je toto nejsnazší způsob (resp. když to udělám naráz a do dvojné sumy), ale nic lepšího mě nenapadá.

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2011 18:37

Kontrola kombinatoriky

#2 05. 11. 2011 19:20 — Editoval OiBobik (05. 11. 2011 19:23)

Re: Kontrola kombinatoriky

#3 06. 11. 2011 01:10 — Editoval Dworzaaa (06. 11. 2011 01:11)

Re: Kontrola kombinatoriky

#4 06. 11. 2011 13:36 — Editoval OiBobik (06. 11. 2011 13:38)

Re: Kontrola kombinatoriky

#5 06. 11. 2011 17:01 — Editoval sushi (06. 11. 2011 17:01)

Re: Kontrola kombinatoriky

#6 06. 11. 2011 17:26

Re: Kontrola kombinatoriky

#7 06. 11. 2011 18:33

Re: Kontrola kombinatoriky

#8 06. 11. 2011 20:35 — Editoval OiBobik (06. 11. 2011 22:27)

Re: Kontrola kombinatoriky

#9 08. 11. 2011 16:43

Re: Kontrola kombinatoriky

#10 08. 11. 2011 19:12

Re: Kontrola kombinatoriky

Zápatí