Matematické Fórum

zdenek_s · 08. 11. 2011 19:28

Žil jsem v mylné představě, že už jsem tu problematiku pochopil. ale s tímhle nehnu
Stanovte všechna x $\in$ R, kterými nelze vyjádřit vektor u jako lineární kombinaci skupiny vektorů {a, b, c, d}.
a=(1; -1; 3; -2), b=(2; 1; 1; -1), c=(-1; 2; 3; 5), d=(1; -1; 29cos $^{2}$ 3x; 1)
u=(1; 1; 3; 1)

jsem si myslel, že aby U bylo lineární kombinací, musí platit:
1.a + 1.b + 3.c + 1.d = (0; 0; 0; 0)

tedy že:
1.1 + 1.2 + 3.(-1) + 1.1 = 0 (rovnost ale neplatí)
1.(-1) + 1.1 + 3.2 + 1.(-1) = 0 (rovnost ale neplatí)
1.3 + 1.1 + 3.3 + 1.(29cos $^{2}$ 3x) = 0
1.(-2) + 2.(-1) + 3.5 + 1.1 = 0 (rovnost ale neplatí)

takže už to mám nesprávně. natož abych tušil, co s tím dál.

děkuji za nakopnutí správným směrem (zkusil jsem sledovat ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/linal.pdf ale zjevně neúspěšně)

zdeněk

rleg · 08. 11. 2011 20:08

↑ zdenek_s:
Ahoj, spíš bych to viděl na $i\cdot a + j\cdot b + k\cdot c +l\cdot d = u$

čili

$i+2j-k+l=1 \nl -i+j+2k-l=1 \nl 3i+j+3k+29l(cos(3x))^2=3 \nl -2i-j+5k+l=1$

přepíšeš si to do matice a budeš to řešit jako soustavu 4 rovnic o 4 neznámých s tím, že bych si asi udělal substituci $y=29(cos(3x))^2$ . Nakonec bych po úpravách určil y tak, aby mi vznikla matice, která bude mít nižší hodnost než 4.

zdenek_s · 08. 11. 2011 20:45

Díky. Tak sjem to zkusil a pokud jsem nikde neudělal chybu, vyšlo mi, že:
-87+6y = -3, tedy že y=14

což po dosazení do substituce dává :
14 = $29(cos(3x))^2$

tedy něco jako
sqrt (14/29) = $cos(3x)$

nebo ještě
arccos [sqrt(14/29)] = 3x

což mě dává přibližně 15,33°

je to možné? nebo ty závěrečné kroky jsou špatně?

díky

rleg · 08. 11. 2011 21:27 — Editoval rleg (08. 11. 2011 22:32)

↑ zdenek_s: Matice mi vyšla podobně, ale myslím, žes ten výsledek špatně interpretoval. Jestli nedělám chybu v úvaze, tak vektor u nemá být lineární kombinací, čili ta rovnice o 4 neznámých nesmí mít řešení a tedy $29-2y=0$ (tak to vyšlo mě) neboli $-87+6y=0$ (tak to vyšlo tobě)

EDIT:
A budu to mít asi dobře, protože to už vyšlo hezky

$29(cos(3x))^2=14,5 \nl cos(3x)=\frac{1}{\sqrt2} \nl 3x=\pm \frac{\pi}{4} \nl x=\pm \frac{\pi}{12}$

EDIT2:
U těch výsledků měla nejspíš být i perioda, čili
$x_1=\frac{\pi}{12} + 2k\pi \nl x_2=-\frac{\pi}{12} + 2k\pi \nl k \in Z$
Doufám, že jsem tu periodu nezkopal

zdenek_s · 09. 11. 2011 00:41

tak mě už nejde ani násobení a sčítání. matice nejprev vypdá takto
1; 2; -1; 1; 1
-1; 1; 2; -1; 1
3; 1; 3; y; 3
-2; -1; 5; 1; 1

pak prohodím poslední dva řádky, tedy:
1; 2; -1; 1; 1
-1; 1; 2; -1; 1
-2; -1; 5; 1; 1
3; 1; 3; y; 3

a eliminuju na
1; 2; -1; 1; 1
0; 3; 1; 0; 2
0; 3; 3; 3; 3
0; -5; 6; -3+y; 0

dál
1; 2; -1; 1; 1
0; 3; 1; 0; 2
0; 0; 2; 3; 1
0; 0; 5/3 + 6; -3 + y; 10/3

tedy (už jen poslední 2 řádky):
0; 0; 2; 3; 1
0; 0; 23/3; -3 + y; 10/3

resp
0; 0; 2; 3; 1
0; 0; 23; -9 + 3y; 10

a končně
0; 0; 2; 3; 1
0; 0; 0; (-23/2).3 - 9 + 3y; (-23/2) + 10

mi dá
0; 0; 0; -87/2 + 3y; -3/2

tedy
-87/2 + 3/2 + 3y = 0
-84/2 + 3y =
42 - 3y = 0
24 - y = 0

prostě se na výsledek 29-2y = 0 nedostanu

jsem to už prošel několikrát, ale stále mám stejný výsledek. asi už je fakt pozdě na takové počítání

díky

rleg · 09. 11. 2011 05:50

↑ zdenek_s: Já jsem zjednodušoval. Ve 3 třetím kroku, kde máš řádek 0; 3; 3; 3; 3 jsem ten řádek vydělil číslem 3 a o krok dál jsem jeden řádek se zápornými čísly vynásobil -1. Ale to je jedno. Můj i tvůj výsledek matice je stejný. V obou případech nám y vyšlo 14, pokud by ta soustava měla mít řešení a 14,5, pokud by naopak to řešení mít neměla. Šlo jen o tu závěrečnou interpretaci.

zdenek_s · 09. 11. 2011 07:03

omlouvám se, ale stále nechápu. Chápu, že jsem si mohl nějaké kroky zjednodušit (ikdyž v kroku s odstraněním jednoho záporného čísla vynásobením celého řádku -1 nevidím žádný přínos; kdyby byl celý řádek záporný, pak jo, ale takhle...) , ale pokud nám matice vyšla stejně, jak to, že Tobě vyšlo:
29-2y = 0
a mě vyšlo
24-y = 0 (což je blbě, protože to má být 14-y=0)

Mě ty výsledky (mezivýsledky) nepřipají stejné. Mě pak y vychází jako "14" a nikoliv "14,5" a pak už to tak pěkně nevychází. Takže tipuji, že jsem se někde v matici utnul ve znaménku, ale nemůžu odhalit kde

Jinak díky moc za pomoc.

rleg · 09. 11. 2011 07:58

↑ zdenek_s:

v posledním řádku matice mi vyšlo 0;0;0;29-2y;1, tobě v posledním řádku vyšlo 0;0;0;-87+6y;-3 (tak to alespoň předpokládám).

A protože tahle soustava nesmí mít řešení, tak nemůžeš počítat rovnici -87+6y=-3, nýbrž správně -87+6y=0.
Najdi si kritérium řešitelnosti soustavy lineárních rovnic (Frobeniova věta)

Jestliže se hodnost matice A nerovná hodnosti rozšířené matice A|b, pak soustava nemá žádné řešení
matice A - to jsou ty první 4 sloupce
rozšířená matice A|b - to je všech 5 sloupců

zdenek_s · 09. 11. 2011 08:06

No jasně, to je ono. nedošlo mi, že musím položit rovnici rovnu nule.... díky moc z apomoc

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2011 19:28

Lineární kombinace vektorů

#2 08. 11. 2011 20:08

Re: Lineární kombinace vektorů

#3 08. 11. 2011 20:45

Re: Lineární kombinace vektorů

#4 08. 11. 2011 21:27 — Editoval rleg (08. 11. 2011 22:32)

Re: Lineární kombinace vektorů

#5 09. 11. 2011 00:41

Re: Lineární kombinace vektorů

#6 09. 11. 2011 05:50

Re: Lineární kombinace vektorů

#7 09. 11. 2011 07:03

Re: Lineární kombinace vektorů

#8 09. 11. 2011 07:58

Re: Lineární kombinace vektorů

#9 09. 11. 2011 08:06

Re: Lineární kombinace vektorů

Zápatí