Matematické Fórum

sami · 09. 11. 2011 09:05 — Editoval sami (09. 11. 2011 09:09)

Prosím o radu. Něco vždycky vypočítám, avšak jakmile se dostanu k nějakému "výsledku", nevím co s tím, co si můžu dovolit a co ne. Již jsem se dívala na nějaká pravidla pro počítání s odmocninami, ale prostě jsem v koncích. Tady na fóru jsem našla nějaké příklady, ale ne tyto.

Děkuji za radu, jak řešit a na co si dávat pozor. Děkuji

Příklad:
$\langle\frac{\sqrt[4]{x^{3}}-\sqrt[4]{x}}{1-\sqrt[]{x}}+\frac{1+\sqrt[]{x}}{\sqrt[4]{x}}\rangle^2 * \langle1+\frac{2}{\sqrt[]{x}}+\frac{1}{x}\rangle^{-\frac{1}{2}}$

Rumburak

Můžeme třeba provést následující úpravu:

$\sqrt[4]{x^{3}}-\sqrt[4]{x} = (\sqrt[4]{x})^{3}-\sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x}\left((\sqrt[4]{x})^{2}-1\right) = \sqrt[4]{x}\left(\sqrt{x}-1\right)$ .

Výrazy mají smysl pro $x \ge 0$ (odmocniny jsou se sudým odmocnitelem) .

"Pravidla" najdeš ve vhodné učebnici, v matematických tabulkách nebo i na webu. Efektivně je používat se naučíš praxí.
Zkus zapracovat na tom příkladu - kam až to budeš umět (jistě aspoň něco umět budeš) - a pošli to sem.
Pro začátek se můžeme omezit jen na úpravu té první závorky, i to bude zajímavé a poučné.

Cheop · 09. 11. 2011 10:38 — Editoval Cheop (09. 11. 2011 12:55)

↑ sami:
První výraz jde upravit na:
$\left(\frac{\sqrt[4]{x^{3}}-\sqrt[4]{x}}{1-\sqrt[]{x}}+\frac{1+\sqrt[]{x}}{\sqrt[4]{x}}\right)^2 =\left(\frac{x-\sqrt x+(1+\sqrt x)(1-\sqrt x)}{(1-\sqrt x)\sqrt[4]{x}}\right)^2=\left(\frac{x-\sqrt x+1-x}{(1-\sqrt x)\sqrt[4]{x}}\right)^2=\\\left(\frac{1-\sqrt x}{(1-\sqrt x)\sqrt[4]{x}}\right)^2=\frac{1}{\left(\sqrt[4]{x}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt x}$

Druhý výraz jde upravit:
$\left(1+\frac{2}{\sqrt[]{x}}+\frac{1}{x}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt[]{x}}+\frac{1}{x}}}=\\\frac{1}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{\sqrt x}\right)^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt x}}=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}$

A teď už stačí ty výrazy mezi sebou vynásobit a upravit
Po výnásobení a úpravě by mělo vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

sami · 09. 11. 2011 10:52

↑ Rumburak:

jak jsi udělal/a z toho čtvrtá odmocnina z x na 3

$\sqrt[4]{x^{3}}-\sqrt[4]{x} = (\sqrt[4]{x})^{3}-\sqrt[4]{x}$

... to v te zavorce?

rleg · 09. 11. 2011 11:10

↑ sami: To v závorce je úplně stejný zápis jako to bez závorky, akorát když si to napíšeš do závorky, tak je lépe vidět, že můžeš z výrazu vytknout $\sqrt[4]{x}$

sami · 09. 11. 2011 11:16

když snad vytknu z

$\sqrt[4]{x^{3}}-\sqrt[4]{x}$

tohle $\sqrt[4]{x}$

tak by mělo zbyt

$x^{2} - 1$

ne?

sami · 09. 11. 2011 11:20

↑ Cheop:

diky za radu ale hned prvni upravu jsem nepochopila, co tam dela to samostatne X ???

přece $\sqrt[4]{x^3} = \sqrt[]{x} * \sqrt[4]{x}$

rleg · 09. 11. 2011 11:26

↑ sami:↑ sami:Ne, když vytkneš, zbude ti

$\sqrt[4]{x^{3}}-\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x} \cdot ( \sqrt[4]{x^{2}}-1)=\sqrt[4]{x} \cdot ( \sqrt{x}-1)$

Cheop · 09. 11. 2011 11:27 — Editoval Cheop (09. 11. 2011 11:28)

↑ sami:
Když vynásobíš: $\sqrt[4]{x^3} \cdot \sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x^4}=x$

sami · 09. 11. 2011 11:32

↑ rleg:

u6 jsem to pochopila, to je otočené to, co jsem tady sama psala ...:

$\sqrt[4]{x^3} = \sqrt[]{x} * \sqrt[4]{x}$

jdu počítat dále ...

Rumburak · 09. 11. 2011 11:51

↑ sami:
Možná že už zbytečně, ale pro úplnost:

$\sqrt[4]{x^3} = \sqrt[4]{ x\cdot x \cdot x } = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x}$ .

Platí totiž obecný vzorec

$\sqrt[n]{a\cdot b} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ ,

pokud má smysl jeho pravá strana. Je odvozen ze vzorce $(A\cdot B)^n = A^n\cdot B^n$ .

sami · 09. 11. 2011 13:01 — Editoval sami (09. 11. 2011 13:01)

↑ Cheop: $\left(1+\frac{2}{\sqrt[]{x}}+\frac{1}{x}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt[]{x}}+\frac{1}{x}}}=\\\frac{1}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{\sqrt x}\right)^2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt x}}=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}$

kde jsi vzal ve 2 kroku to nadruhou???

rleg · 09. 11. 2011 13:18

↑ sami: to je vzoreček $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

sami · 09. 11. 2011 13:25 — Editoval sami (09. 11. 2011 13:33)

jak mám z tohoto vyčíst vzoreček ??!!!

$\sqrt{\langle1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}\rangle}$

tam nesed9 ta dvojka :( jsem z toho jelen uz :(

... omlouvám se ... neumím násobit ... příklad tedy vypočten, děkuji moc, ale stále nechápu jak mám z toho vyčíst vzoreček, to me jen tak do očí netrefí, když to uvidím :(

sami · 09. 11. 2011 13:41

↑ Cheop:

jak jsi na toto přišel ? nasobim jak nasobim, ale tohle mi rozhodne nevychazi :(

$\frac{\sqrt x-1}{x-1}$

sami · 09. 11. 2011 13:45 — Editoval sami (09. 11. 2011 13:46)

vychazi to

$\frac{1}{\sqrt{x}} * \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$

Honzc · 09. 11. 2011 13:52 — Editoval Honzc (09. 11. 2011 14:06)

↑ sami:
Špatně jsi to přečetla. Má být:
$\frac{1}{\sqrt{x}} * \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$
a potom
$\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

((:-)) · 09. 11. 2011 14:30 — Editoval ((:-)) (09. 11. 2011 15:24)

↑ sami:

Čo píše Honzc, je dobre.

Označila som si $t = \sqrt[4]{x}$ . Potom $\color{blue}t^2\color{black} = $x^{\frac 14}$^2= x^{\frac 12} =\color{blue}\sqrt x$ a $t^4 = x$

$\color{magenta}\sqrt[4]{x^3}\color{black}=x^{\frac 34}=(x^{\frac 14})^3=\color{magenta}t^3$

Výpočty potom sú:

$$\frac{t^3-t}{1-t^2}+\frac{1+t^2}{t}$^2\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{t^4+2t^2+1}{t^4}}}$

$$\color{red}-\color{black}\frac{t(t^2-1)}{\color{red}(t^2-1)}+\frac{1+t^2}{t}$^2\cdot\frac{t^2}{\sqrt{\color{magenta}t^4+2t^2+1}}$

$$-\frac{t\color{blue}(t^2-1)}{\color{blue}(t^2-1)}+\frac{1+t^2}{t}$^2\cdot\frac{t^2}{\sqrt{\color{magenta}(t^2+1)^2}}$

$$\frac{-t\cdot\color{red}t}{1\cdot\color{red}t}+\frac{1+t^2}{t}$^2\cdot\frac{t^2}{\sqrt{(t^2+1)^2}}$

$$\frac{\color{magenta}-t^2+1+t^2}{t}$^2\cdot\frac{t^2}{\sqrt{(t^2+1)^2}}$

$$\frac{\color{magenta}1}{t}$^2\cdot\frac{t^2}{\sqrt{(t^2+1)^2}}=\frac{1}{\color{blue}t^2}\cdot\frac{\color{blue}t^2}{\sqrt{(t^2+1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{(t^2+1)^2}}=\frac{1}{t^2+1}$

Po nahradení premennou x:

$\color{red}\frac{1}{\sqrt x+1}$

+ treba ešte pridať podmienky pre úpravy.

sami · 09. 11. 2011 14:36

↑ Honzc:

a jak mám zase poznat ze je to vzorec ?? !! :( :(

ja myslela ze kdyz jde o nasobeni tak tam to muzu pokratit a zbyde

$\frac{1}{\sqrt{x}+1}$

((:-)) · 09. 11. 2011 14:40

↑ sami:

Sami - $\frac{1}{\color{blue}\sqrt x\color{black}+1}\neq \frac{1}{\color{blue}\sqrt {x+1}}$

sami · 09. 11. 2011 14:49

jo to vim ,ale tu hle upravunechapu ...

$\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

((:-)) · 09. 11. 2011 14:55 — Editoval ((:-)) (09. 11. 2011 14:55)

↑ sami:

Ak nemá byť v menovateli odmocnina, zlomok sa usmerní výrazom, ktorý v menovateli urobí "vzorec" $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ , teda:

$\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1\cdot \color{red}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)\color{red}(\sqrt{x}-1)}=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

sami · 09. 11. 2011 15:04

Proč Tobě to vyšlo takto:

$\color{red}\frac{1}{\sqrt x+1}$

a tomu druhému a ted mi pises ze takto

$\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

ale díky, Tvůj způsob mi hodně pomohl ... :-) je to jednodussi ..ale mohla by jsi mi jeste objasnit nejak toto?

$\color{blue}t^2\color{black} = $x^{\frac 14}$^2= x^{\frac 12} =\color{blue}\sqrt x$

sami · 09. 11. 2011 15:05

jo aha uz vim ... jsem tele :-D

tak jenom tohle $\color{blue}t^2\color{black} = $x^{\frac 14}$^2= x^{\frac 12} =\color{blue}\sqrt x$

díky ;)

((:-)) · 09. 11. 2011 15:11

↑ sami:

Ešte raz:

Odmocniny sa v menovateľoch zlomkov nezvyknú nechávať.

Zlomok môžeš rozšíriť ktorýmkoľvek nenulovým číslom, to znamená vynásobiť tým číslom čitateľa aj menovateľa.

To sa hodí vtedy, ak vo výsledku úlohy vznikne odmocnina.

Keď vynásobíš $(\sqrt x+1)\color{red}(\sqrt x-1)\color{black} = \text {každé s každým alebo podľa vzorca} (\sqrt x)^2 - 1^2 = x-1$

Samozrejme, že nestačí vynásobiť len menovateľ, tou červenou zátvorkou sa musí vynásobiť aj čitateľ, aby sa hodnota zlomku nezmenila.

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2011 09:05 — Editoval sami (09. 11. 2011 09:09)

Počítání s moncinami a odmocninami

#2 09. 11. 2011 10:25 — Editoval Rumburak (09. 11. 2011 10:32)

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#3 09. 11. 2011 10:38 — Editoval Cheop (09. 11. 2011 12:55)

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#4 09. 11. 2011 10:52

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#5 09. 11. 2011 11:10

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#6 09. 11. 2011 11:16

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#7 09. 11. 2011 11:20

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#8 09. 11. 2011 11:26

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#9 09. 11. 2011 11:27 — Editoval Cheop (09. 11. 2011 11:28)

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#10 09. 11. 2011 11:32

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#11 09. 11. 2011 11:51

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#12 09. 11. 2011 13:01 — Editoval sami (09. 11. 2011 13:01)

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#13 09. 11. 2011 13:18

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#14 09. 11. 2011 13:25 — Editoval sami (09. 11. 2011 13:33)

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#15 09. 11. 2011 13:41

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#16 09. 11. 2011 13:45 — Editoval sami (09. 11. 2011 13:46)

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#17 09. 11. 2011 13:52 — Editoval Honzc (09. 11. 2011 14:06)

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#18 09. 11. 2011 14:30 — Editoval ((:-)) (09. 11. 2011 15:24)

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#19 09. 11. 2011 14:36

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#20 09. 11. 2011 14:40

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#21 09. 11. 2011 14:49

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#22 09. 11. 2011 14:55 — Editoval ((:-)) (09. 11. 2011 14:55)

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#23 09. 11. 2011 15:04

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#24 09. 11. 2011 15:05

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

#25 09. 11. 2011 15:11

Re: Počítání s moncinami a odmocninami

Zápatí