Matematické Fórum

Torpy · 08. 11. 2011 22:53

Zdravím,

mám následující problém:
Vypočítat integrál v závislosti na reálném parametru a:
$\int_H{\left( x^2+y^2 \right) ^a \cdot |z| dxdydz}$ , kde $H= \{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb R^3 | x^2+y^2-1<z^2<x^2+y^2 \}$

Převedl jsem do válcových souřadnic:
$x=r \cos\alpha$
$y=r \sin\alpha$
$z=z$
kde $r \in \left( 0,\infty \right)$ , $\alpha \in \left( 0,2\pi \right)$ , $z \in \mathbb R$
Jakobián je roven r.

Pak
$H=\{\left( r,\alpha, z \right) \in \left( 0,\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times \mathbb R | r^2-1<z^2<r^2\}$

Takže počítám:

$\int_0^\infty { \int_0^{2\pi} { \int_{\sqrt{r^2-1}}^r{r^{2a+1} \cdot |z| }}}dzd\alpha dr =\int_0^\infty{\int_0^{2\pi}{r^{2a+1}\cdot \frac12}}d\alpha dr = \int_0^\infty{r^{2a+1}\cdot \pi} dr$

Tento integrál je
pro a>-1 roven $\infty$
pro a=-1 roven 0
pro a<-1 roven $-\infty$

Je tento postup správný? Hlavně si nejsem jist u mezí integrálů, konkrétně u r, může jít až do $\infty$ ?

Díky všem za pomoc!

kompik · 09. 11. 2011 20:50

↑ Torpy:
Vyzera dost podozrive, ked integrujes nieco nezaporne a vyjde Ti zaporna hodnota, ci nie?

Skus si nakreslit ako vyzera ta oblast, cez ktoru integrujes: http://www.wolframalpha.com/input/?i=r^2-1%3Cz^2%3Cr^2

Ak chces vyjadrovat z v zavislosti od r (a obmedzis sa na nezaporne z), tak hranice $\sqrt{r^2-1}<z<r$ funguju len pre r>1, pre $r\in\langle0,1\rangle$ mas $0\le z<r$ .

Torpy · 09. 11. 2011 22:16 — Editoval Torpy (10. 11. 2011 01:14)

Aha,
takže r budu brát z intervalu $\left[0,\infty\right]$ .
Pro $r \in \left[0,1\right]$ bude $z \in \left[0,r\right)$ a pro $r \in \left[1,\infty\right]$ bude $z \in \left[\sqrt{r^2-1},r\right)$

Takže ten integrál budu počítat takhle?

$\int_0^{2\pi}{\left(\int_0^1{\int_0^r{r^{2a+1}\cdot z } }\mathrm{d}z\mathrm{d}r + \int_1^\infty{\int_{\sqrt{r^2-1}}^r{r^{2a+1}\cdot z }\mathrm{d}z\mathrm{d}r} \right)d\alpha}$

Je to tak?
Díky

kompik · 10. 11. 2011 09:49

↑ Torpy:
Myslim si, ze takyto postup by mal byt ok (aspon ja som tam ziadnu chybu nezbadal).
Len to na konci este treba prenasobit dvojkou (kedze si zobral iba nezaporne z; je to symetricke - integral cez zaporne z vyjde rovnako.)

Torpy · 10. 11. 2011 19:58

↑ kompik:

Jo jasný, to jsem zapomněl.

Dík moc.

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2011 22:53

Integrál přes množinu

#2 09. 11. 2011 20:50

Re: Integrál přes množinu

#3 09. 11. 2011 22:16 — Editoval Torpy (10. 11. 2011 01:14)

Re: Integrál přes množinu

#4 10. 11. 2011 09:49

Re: Integrál přes množinu

#5 10. 11. 2011 19:58

Re: Integrál přes množinu

Zápatí