Matematické Fórum

stenly · 10. 11. 2011 13:33

Když vynásobím číslo 9 kterýmkoli číslem a výsledek sečtu,dostanu opět devítku.Může mi to někdo dokázat?Děkuji.Př.:2*9=18,pak 1+8=9

Anonymystik

Původní číslo ... x
Nové číslo ... 9x
Ciferný součet nového čísla ... f(9x)
Vzhledem k tomu, že kritérium dělitelnosti devíti zní: "číslo je dělitelné devítí právě tehdy, je-li dělitelné devíti jeho ciferný součet", pak se jedná o docela zřejmý fakt. Akorát ty píšeš, "dostanu opět devítku", to není přesné, znamenalo by to, že f(9x)=9 pro každé x, např. pro x=11 ale máš f(99) = 18, což sice je DĚLITELNÉ DEVÍTI, ale není to přímo devět.
Jinak ... kritérium dělitelnosti devíti není těžké dokázat. Každé číslo můžeš rozepsat jako $x = a_n 10^{n} + a_{n-1} 10^{n-1} + ... + a_{0} = \sum_{i=0}^{n}a_i 10^{i}$ (**). Např. číslo 2065 rozepíšeš jako $x =2*10^{3} + 0*10^{2} + 6*10^{1} + 5$ . A každé číslo $a_{k} 10^{k}$ si můžeš rozepsat jako $a_{k} (9+1)^{k}$ což po dělení devíti dává stejný zbytek jako $a_{k} 1^{k} = a_{k}$ . V důsledku toho počítáš-li zbytek po dělení devíti u nějakého čísla x, tak rozepíšeš-li si toto číslo způsobem (**), pak každý člen můžeš každý k-tý člen $a_{k} 10^{k}$
,zajímá-li tě opravdu jen zbytek po dělení devíti, nahradit prostě jen číslem $a_{k}$ . A tyto čísla potom sečteš přes všechna k od 0 po n, což je přesně význam ciferného součtu.

stenly · 10. 11. 2011 14:31

↑ Anonymystik:Děkuji za pěkný rozbor.Stenly.

Rumburak

↑ Anonymystik:

Pouze pro zajímavost: Kriterium dělitelnosti devíti se dá velmi přehledně odvodit i takto:

$x = a_n 10^{n} + a_{n-1} 10^{n-1} + ... + a_{0} = \sum_{i=0}^{n}a_i 10^{i}$ ,
$f(x) = a_n + a_{n-1} + ... + a_{0} = \sum_{i=0}^{n}a_i$ ,

$x - f(x) = \sum_{i=0}^{n}a_i 10^{i} - \sum_{i=0}^{n}a_i = \sum_{i=0}^{n}a_i (10^{i} - 1)$ ,

kde všechny koeficienty $10^{i} - 1 , i = 0, 1, 2, ...$ jsou zřejmě dělitelné devíti - například

1 000 000 - 1 = 999 999 = 9 * 111 111

a není těžké dokátat to obecně.

Odtud už je kriterium snadno patrné.

EDIT. Jak to tak vidím, jde pouze o technickou variaci Tvé metody.

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2011 13:33

Zajímavé

#2 10. 11. 2011 14:03 — Editoval Anonymystik (10. 11. 2011 14:06)

Re: Zajímavé

#3 10. 11. 2011 14:31

Re: Zajímavé

#4 10. 11. 2011 14:56 — Editoval Rumburak (10. 11. 2011 15:03)

Re: Zajímavé

Zápatí