Matematické Fórum

↑ vviston:
Ahoj, lineární neboli vektorový prostor není něco, co by bylo možno "vidět".  Je to matematická struktura, 
neboli abstraktní množina opatřená určitými matematickými zákonitostmi .

O co při této abstrakci jde, si ukážeme na příkladech jednodušší matematické struktury.


1) Vezměme množinu všech CELÝCH  čísel opatřenou binární operací sčítání (+) .  Víme, že

(A)        pro libovolná celá čísla  x, y, z   je    (x + y) + z   =  x + (y + z) ,

(B)        existuje celé číslo - pevně označené symbolem 0 - takové, že pro libovolné celé číslo x je     x + 0  =  0 + x =  x ,

(C)        ke každému celému číslu y  existuje celé číslo x  takové, že   x + y  = y + x  = 0.


2)  Vezměme množinu všech KLADNÝCH (reálných) čísel opatřenou binární operací násobení (.) .  Víme, že

(A')        pro libovolná kladná čísla  x, y, z   je    (x . y) . z   =  x . (y . z) ,

(B')        existuje kladné číslo - pevně označené symbolem 1 - takové, že pro libovolné kladné číslo x je     x . 1  =  1 . x =  x ,

(C')        ke každému kladnému číslu y  existuje kladné číslo x  takové, že   x . y  = y . x  = 1 .


Vidíme, že mezi případy 1 a 2  existuje určitá analogie.  Tuto analogii vyjadřujeme abstraktní algebraickou strukturou,
která se nazývá grupa : Můžeme říci, že grupa je dvojice (G, *) , kde G je množina a * binární operace definovaná
na množině G , při čemž jsou splněny výroky  (axiomy grupy)

(A'')        pro libovolné prvky  x, y, z patřící do G je    (x * y) * z   =  x * (y * z) ,

(B'')        v množině G existuje prvek - pevně označený symbolem j -  takový, že pro libovolné x patřící do G je     x * j  =  j * x =  x ,

(C'')        ke každému y (patřícímu do G)  existuje  x  (v G)  takový, že   x * y  = y * x  = j .

Zatímco čísla (celá nebo kladná) mají ještě relativně konkretní povahu (takřka každodenně s nimi pracujeme, můžeme je
zakreslit na číselnou osu) , grupa je už je velmi abstraktním pojmem. Smysl grupy je v tom, že vystihuje to, co je případům
1 a 2  společné . Říkáme, že případy 1, 2  jsou konkretními příklady grugy, tj. spadají pod společnou teorií, což je teorie grup.
Studujeme-li grupy obecně, studujeme tím zároveň případy 1,  2 a další takové.

Lineární prostor (neboli vektorový prostor) je abstraktní matematická struktura podobně jako grupa (LP vlastně JE grupa vzhledem
k operací +, ale je tam ještě něco k tomu navíc) . Viz třeba zde.