Matematické Fórum

TAJNaholkA · 30. 07. 2008 17:50

Ahoj,
jsou dany body A a B urcete p tak aby byla vzdalenost AB co nejmensi ( A [ 3-p; -3+2p;2] B[-1;0;-1] )
Tretak na gymplu (zadne derivace jak mi kdosi radil).. nemuzu na to proste prijit .. za kazdou pomoc dekuji :-)

ttopi · 30. 07. 2008 17:59

Já bych to přecijen možná přes derivace řešil.
Se vzorečku pro vzdálenost 2 bodů ve 3D bych si vyjádřil funkci v (vzdálenost bodů) v závislosti na p(píši x).

Potom podle minima funkce určím takové p(x), aby vzdálenost bodů byla co nejmenší.

Pokud jsem správně uvažoval a upravoval, vyšla mi asi takováto funkce

$http://wood.mendelu.cz/math/maw/gnuplot/gnuplot.php?funkce=sqrt%28%28%2834-%2820%2Ax%29%29%2B%285%2A%28x%5E2%29%29%29%29&xmin=-5&xmax=5&ymin=-10&ymax=10&naturallog=1&logbase=exp(1)$

Odhaduji, že p=2 ??

PS: Nejsem si ale vůbec jistý :-))

Pavel Brožek

↑ TAJNaholkA:

Ahoj, musíš si vyjádřit vzdálenost těch bodů pomocí p:

$|\textrm{AB}|=\sqrt{((3-p)-(-1))^2+((-3+2p)-0)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(4-p)^2+(-3+2p)^2+3^2}=\sqrt{16-8p+p^2+9-12p+4p^2+9}=\sqrt{5p^2-20p+34}$

Vzdálenost bude nejmenší, pokud výraz pod odmocninou bude nejmenší. Protože je to kvadratická funkce, grafem bude parabola a protože koeficient u $p^2$ je kladný, bude otevřená nahoru. Minimum tedy bude mít ve vrcholu. Vrchol se dá určit pomocí úprav trojčlenu:

$5p^2-20p+34=5p^2-20p+20-20+34=5(p^2-4p+4)+14=5(p-2)^2+14$ (edit: opravena chyba ve výpočtu)

Vrchol paraboly má tedy souřadnice $[2;14]$ , nejmenší vzdálenost bodů A a B tedy bude, pokud p=2.

(Není nutné hledat vrchol paraboly, stačí ty úpravy trojčlenu, pak je zřejmé, že je nejmenší pro p=2)

ttopi · 30. 07. 2008 18:24 — Editoval ttopi (30. 07. 2008 18:40)

↑ BrozekP:
Máš to poměrně pomatený.
Když roznásobíš zpět výraz $5(p-2)^2+29$ , dostaneš $5(p^2-4p+4)+29=5p^2-20p+20+29=5p^2-20p+49$ a to není to, z čeho se vycházelo.
Zřejmě jsi měl na mysli $5p^2-20p+34=5p^2-20p+20-20+34=5(p^2-4p+4)+14=5(p-2)^2+14$
Taky jsi zřejmě zapoměl, že ta parabola vzniká ještě odmocněním tohoto výrazu. Můj graf bude zřejmě dobře, takže souřadnice vrcholu budou zřejmě jiné.
Patrně to bude $V=[2;\sqrt{14}]$ Nicméně na p=2 se shodnem a to je podstatné.

TAJNaholkA · 30. 07. 2008 18:26

↑ BrozekP:
K te rovnici pod odmocninou jsem jeste dosla, ale pak jsem nevedela co s tim, diky :-)

Pavel Brožek

↑ ttopi:

Díky za upozornění, tu chybu v úpravách výrazu jsem opravil.

Jinak parabola je v tomto případě graf funkce $5p^2-20p+34$ , po odmocnění už grafem není parabola, ale hyperbola. V tomto případě pro nalezení minima funkce stačí najít minimum funkce pod odmocninou, protože odmocnina je rostoucí funkce.

rughar · 31. 07. 2008 12:19

Není třeba vůbec nic derivovat.

Bod A má ve svých souřadnicích jeden parametr. To znamená, že v závislosti na jeho hodnotě bude bod ležet na nějakém konkrétním místě nějaké křivky. A ta křivka není jen tak ledajaká. parametr p v souřadnicích vystupuje lineárně, takže bod A v závislosti na parametru p bude náležet na přímce

x = 3 - p
y = -3 + 2p
z = 2

je klasické parametrické zobrazení přímky. Můžeme si napsat velmi jednoduše směrový vektor této přímky.

v = (-1 ; 2 ; 0)

Úlohu si mohu přeformulovat takto. Hledám rovinu, která prcohází bodem B a je kolmá k přímce množiny bodů A. Heldaný bod A pak bude náležet v této rovině také (takový, který bude nejblíže k bodu B).

Napsat rovnici té roviny je triviální, nebo? známe její normálový vektor (pro zachování kolmosti odpovídá směrovému vektoru výše zmíněné přímky).

-x + 2y + k = 0

k dopočítáme tak, že za x,y,z dosadíme souřadnice bodu B (rovina jím musí procházet)

k = -1

A tedy

-x + 2y - 1 = 0

Nyní postupně za x, y, z dosadíme souřadnice bodu A s parametrem

-(3-p) + 2*(-3+2p) - 1 = 0

Nemusel jsem nic derivovat, dokonce ani počítat kvadratickou rovnici a vím, že hodnota parametru je p = 2.

Derivování v tomto případě vypadá jako mnohem přímočařejší, ale někdy je dobré se zamyslet i nad nějakým geometrickým trikem ;-)

Matematické Fórum

#1 30. 07. 2008 17:50

Souradnice, parametr p

#2 30. 07. 2008 17:59

Re: Souradnice, parametr p

#3 30. 07. 2008 18:16 — Editoval BrozekP (30. 07. 2008 19:04)

Re: Souradnice, parametr p

#4 30. 07. 2008 18:24 — Editoval ttopi (30. 07. 2008 18:40)

Re: Souradnice, parametr p

#5 30. 07. 2008 18:26

Re: Souradnice, parametr p

#6 30. 07. 2008 19:03 — Editoval BrozekP (30. 07. 2008 19:05)

Re: Souradnice, parametr p

#7 31. 07. 2008 12:19

Re: Souradnice, parametr p

Zápatí