Matematické Fórum

Aquabellla

Zdravím,
potřebovala bych poradit s příkladem: Najděte průnik a součet prostorů v prostoru $\mathbb R _5[x]$
a) $P = \{ f \in \mathbb R _5 (x) | f(x) = -f(x) \}$

Vím, jak řešit tyto příklady, když dostanu zadané vektory, ale opravdu si nevím rady s polynomem... jak ho převést do matice? Anebo se to řeší jinak?

Předem díky, Bellla

vanok · 10. 11. 2011 22:08 — Editoval vanok (10. 11. 2011 22:23)

Ahoj ↑ Aquabellla:,

Akoze je tu jen cast prikladu, jedinne co ti mozem pomoct je popisat presne $P$

$\mathbb R _5 (x) | f(x) = -f(x) ]$ je vektorovy priestor polynomov 5°
A jedna jeho baza je $(1; x; x^2; x^3; x^4; x^5)$ (jeho dimenzia je 6)
Najdime vsetky vektory baze (to su polynomy ) co splnuju danu podmienku

Lahko zistime ze $x; x^3; x^5$ vyhovuju
A tieto vektory generuju $P$ , co je ich linearny obal.

Vseobecny prvok v $P$ je formy $a.x + b.x^3 + c.x^5$

Poznamka aky si mala { musis v Tex pisat\{

Aquabellla

↑ vanok:

Příklad je celý (ještě to má podúkol b, ale to jsem si myslela, že zkusím udělat sama, až budu vědět jak na áčko).

Díky za reakci. Bázi a dimenzi chápu. Jen se chci zeptat, proč podmínku nesplňuje i x a proč je tam x^5 s áčkem?

PS: Díky za tu množinovou závorku :-)

vanok · 10. 11. 2011 22:22

↑ Aquabellla:
preklep $x$ je ok
opravujem

Aquabellla · 10. 11. 2011 22:32

↑ vanok:

Dobře, děkuji, tak to chápu. A prosím, jak by se pokračovalo v tom součtu a průniku?

vanok · 10. 11. 2011 22:37

↑ Aquabellla:
Ak je tam otazka b) a dalsi podpriestor tak sa da iste odpovedat. Ale tu mas len jeden podpriestor $P$

Aquabellla · 10. 11. 2011 22:41

↑ vanok:

jžš aha a já si myslela, že je to zvlášť :-D no jasně, průnik prostorů, musí být aspoň dva...

b) $Q = \{ f \in \mathbb R _5 (x) | f(2) = 0 \}$

vanok · 10. 11. 2011 22:50

↑ Aquabellla:

Ano, dokonale.

A Q to je pre teba jednoduche vyjadrit.

Tak dobre pokracovanie a vela uspechov

Aquabellla · 10. 11. 2011 23:05

↑ vanok:

Napadá mě jedině toto: $2a + 8b + 32c = 0$

vanok · 10. 11. 2011 23:21

↑ Aquabellla:
Ako si k tomu prisla?

f(2)= 0 znamena f(x) najviac 5° je delitelne z x-2

Toto musis vyuzit na urcenie Q

Aquabellla · 10. 11. 2011 23:32

↑ vanok:

Za všeobecný prvek v P jsem dosadila to, co vím z Q, že x = 2 a y = 0.

Q má kořen 2, ale jak z toho určit celé Q?
Něco jako: $Q = (x_1 - 2)x^4 + (x_1 - 2)x^3 + (x_1 - 2)x^2 + (x_1 - 2)x + (x_1 - 2) + 1$ bych řekla, že mi moc nepomůže. Respektive já v tom nic nevidím.

Prosím o pomoc kohokoliv, Vanok mi psal, že se vrátí až v neděli a já bych to potřebovala pochopit do zítřka do desíti dopoledne... minulý týden se polynom objevil v písemce na generující množinu a bázi a jestli se zítra objeví zas... prostě chci i potřebuju to pochopit. Vřele díky všem!

OiBobik

↑ Aquabellla:

Vanok tím chtěl pravděpodobně naznačit, že pokud f(2)=0 a f je polynom stupně nejvýše 5, pak $f(x)=(x-2)g(x)$ , kde g(x) je polynom stupně nejvýše 4 (a naopak: pro každý polynom g stupně nejvýše 4 platí, že $f(x):=(x-2)g(x)$ je polynom stupně nejvýše 5 takový, že $f(2)=0$ ).

Aquabellla · 12. 11. 2011 20:49

Tak po páteční hodině a všem přemýšlení jsem došla k tomuto:

Báze $P = [x^5, x^3, x]$ , $\dim P = 3$

Průnik $P \cap Q = [x^5 - 16x, x^3 - 4x]$ , $\dim P \cap Q = 2$

Pak platí, že $\dim (P \cap Q) + \dim (P + Q) = \dim P + \dim Q$

Mám problém přijít na ten součet, protože i to Q je na mě moc záludné...jak najít jejich báze?

OiBobik

↑ Aquabellla:

Čeho báze? ("jejich"? snad co ti chybí, je pouze báze toho podprostoru Q, ne?)

Bázi Q určitě není těžké najít, navazuje to na ony úvahy výše:

Uvědom si, že $(x-2), (x-2)x, \dots (x-2)x^4 \in Q$ a navíc jsou lineárně nezávislé (to lze nahlédnout třeba tak, že mají různé stupně). Takže máme pětiprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů z Q. No a je možné, že bychom našli nějakou větší množinu, nebo ne?

Aquabellla · 12. 11. 2011 21:29

↑ OiBobik:

Tím "jejich báze" jsem myslela bázi Q a bázi P+Q.

Ne, větší množinu určitě nenajdeme... takže to, co jsi napsal, je přímo báze Q?

OiBobik · 12. 11. 2011 21:53

↑ Aquabellla:

Ano.

Btw: to, že větší nenajdeme, plyne ze Steinitzovy věty. Víme, že dimenze celého uvažovaného prostoru R5(x) je 6, tedy báze takového prostoru má 6 prvků. Ovšem kdyby existovala 6-prvková báze Q, pak dle Steinitzovy věty již nutně generuje celé R5(x), tedy pak by Q=R5(x), což ale zřejmě není pravda.

Aquabellla · 12. 11. 2011 22:05

↑ OiBobik:

Jasně, to chápu, díky.
Pak podle tohoto pravidla: $\dim (P \cap Q) + \dim (P + Q) = \dim P + \dim Q$ je dimenze součtu $\dim (P + Q) = 6$
Generující množina součtu je $(x^5, x^3, x, x-2, x^2 - 2x, x^3 - 2x^2, x^4 - 2x^3, x^5 - 2x^4)$ , která má osm prvků, takže se potřebuji dvou "zbavit", abych získala bázi. Jak na to?

OiBobik

↑ Aquabellla:

(čtvrt-)Trik:
jestli to umíš s aritmetickými vektory, jak píšeš výše, můžeš s těmi polynomy pracovat úplně stejně:
stačí od polynomu $a_0+a_1x^1+a_2x^2 \dots +a_5x^5$ přejít k vektoru $(a_0,a_1,a_2 \dots a_5)$ a pak si hrát s maticemi stejně, jako bys to dělala u aritmetických vektorových prostorů. Nakonec výslednou bázi spojení podprostorů zpětně interpretuješ jako polynomy s příslušnými koeficienty (později tomu budete říkat "přechod k souřadnicím vzhledem k bázi $\{1,x,x^2 \dots x^5\}$ ")

Resp. jinak řečeno: jde o to, že teď musíš mezi těmi 8 vektory najít nějaké dva, které jsou lineární kombinací zbylých šesti, neboli, což je ekvivalentní, nějakou posloupností kroků přičítání (nenulových) násobků některých těch vektorů k jiným dojít k tomu, že dva z těch vektorů vynuluješ - no ale protože co se těchto operací týče a jediné, co se na těch vektorech mění, jsou koeficienty $a_0 \dots a_5$ , stačí ti si tyto koeficienty napsat do řádků matice a eliminovat, až dostaneš nějakou lineárně nezávislou množinu.

//////////////////////////////////////////////

Ovšem v duchu minulé poznámky o Steinitzově větě: pokud mi podle věty o dimenzi spojení a průniku vyjde, že dimenze spojení je 6, přičemž jde o podprostory prostoru dimenze 6, pak je toto spojení (tedy po tvém součet) podprostorů již celý prostor a vystihnout jej nějakou jinou množinou generátorů, než již známou bází $\{1,x,\dots x^5\}$ , je vlastně zbytečná práce navíc : ))

Aquabellla · 12. 11. 2011 22:33

↑ OiBobik:

Super, díky moc, to mě vůbec nenapadlo, že to takhle jde :-) Vyšlo mi, že $x^3$ a $x^5$ jsou lineární kombinací ostatních, takže báze součtu je: $P + Q = [x, x-2, x^2 - 2x, x^3 - 2x^2, x^4 - 2x^3, x^5 - 2x^4]$

Ještě jednou moc díky za skvělé vysvětlování :-)

OiBobik

↑ Aquabellla:

není zač, jsem rád, jestli jsem pomohl.
Btw: ještě jsem tam přieditoval jednu poznámku, někdy se může projevit jako užitečná (když člověk nestíhá v testu, nebo ho přepadne záchvat lenosti, apod.). ; ))

Aquabellla · 12. 11. 2011 22:38

↑ OiBobik:

Jo díky, četla jsem to a musím říct, že jsem se docela plácla do čela, že mě to samotnou nenapadlo, protože zrovna včera jsme si takhle jeden příklad zjednodušili :-) no snad si to časem taky pořádně zažiju

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2011 21:53 — Editoval Aquabellla (10. 11. 2011 22:14)

Průnik a součet prostorů

#2 10. 11. 2011 22:08 — Editoval vanok (10. 11. 2011 22:23)

Re: Průnik a součet prostorů

#3 10. 11. 2011 22:19 — Editoval Aquabellla (10. 11. 2011 22:19)

Re: Průnik a součet prostorů

#4 10. 11. 2011 22:22

Re: Průnik a součet prostorů

#5 10. 11. 2011 22:32

Re: Průnik a součet prostorů

#6 10. 11. 2011 22:37

Re: Průnik a součet prostorů

#7 10. 11. 2011 22:41

Re: Průnik a součet prostorů

#8 10. 11. 2011 22:50

Re: Průnik a součet prostorů

#9 10. 11. 2011 23:05

Re: Průnik a součet prostorů

#10 10. 11. 2011 23:21

Re: Průnik a součet prostorů

#11 10. 11. 2011 23:32

Re: Průnik a součet prostorů

#12 10. 11. 2011 23:53 — Editoval OiBobik (11. 11. 2011 00:01)

Re: Průnik a součet prostorů

#13 12. 11. 2011 20:49

Re: Průnik a součet prostorů

#14 12. 11. 2011 21:17 — Editoval OiBobik (12. 11. 2011 22:56)

Re: Průnik a součet prostorů

#15 12. 11. 2011 21:29

Re: Průnik a součet prostorů

#16 12. 11. 2011 21:53

Re: Průnik a součet prostorů

#17 12. 11. 2011 22:05

Re: Průnik a součet prostorů

#18 12. 11. 2011 22:14 — Editoval OiBobik (12. 11. 2011 22:34)

Re: Průnik a součet prostorů

#19 12. 11. 2011 22:33

Re: Průnik a součet prostorů

#20 12. 11. 2011 22:35 — Editoval OiBobik (12. 11. 2011 22:38)

Re: Průnik a součet prostorů

#21 12. 11. 2011 22:38

Re: Průnik a součet prostorů

Zápatí