Matematické Fórum

zuzik1 · 12. 11. 2011 19:57

Ahoj nějak jsem se za sekla při řešení jednoho příkladu.

Zadání zní:
Najděte obecné řešení diferenciální rovnice: $ay^{\prime\prime\prime}=y^{\prime\prime}$

Můj postup vypadá takto

Substituce:
$z^\prime=y^{\prime\prime\prime}\ a\ z=y^{\prime\prime}$
$az^{\prime}=z$

Po zintegrování mi vyšlo
$ln|z|=\frac{t}{a}+ln|C_1|$
$z=e^{\frac{t}{a}}+C_1$

Po dosazení zpátky mám tohle
$y^{\prime\prime}=e^{\frac{t}{a}}+C_1$

Další substituce
$z=y^\prime\ a\ z^\prime=y^{\prime\prime}$
$z^\prime=e^{\frac{t}{a}}+C_1$

Po zintegrování mi vyšlo
$z=ae^{\frac{t}{a}}+C_1t+C_2$

Zpětné dosazení
$y^\prime=ae^{\frac{t}{a}}+C_1t+C_2$

a když to znovu zintegruju tak mi výjde
$y=a^2e^{\frac{t}{a}}+C_1t^2+C_2t+C_3$

ale výsledek by mi měl vyjít
$y=C_1e^{\frac{t}{a}}+C_2t+C_3$

Počítám to asik už po čtvrtý a stále docházím k jiným výsledkům než bych měla a nevím proč. Děkuju za pomoc

jarrro · 12. 11. 2011 20:27 — Editoval jarrro (12. 11. 2011 20:32)

ja by som skôr konštantou vynásobil,lebo $\ln|z|=\frac{t}{a}+\ln|C_1|\nl \left|z\right|=\mathrm{e}^{C_1+\frac{t}{a}}=\mathrm{e}^{C_1}\mathrm{e}^{\frac{t}{a}}$
a potom $y^{\prime}=\frac{C_1}{a}\mathrm{e}^{\frac{t}{a}}+C_2=C_1\mathrm{e}^{\frac{t}{a}}+C_2\nl y=C_1\mathrm{e}^{\frac{t}{a}}+C_2t+C_3$

zuzik1 · 12. 11. 2011 20:39

Děkuju za radu :-)

zuzik1 · 12. 11. 2011 20:46

A můžu se ještě zeptat jak příjdu na tohle nějak jsem se vtom stratila.
$\ln|z|=\frac{t}{a}+\ln|C_1|\nl \left|z\right|=\mathrm{e}^{C_1+\frac{t}{a}}=\mathrm{e}^{C_1}\mathrm{e}^{\frac{t}{a}}$

jarrro · 12. 11. 2011 21:05

↑ zuzik1:exponenciála je prostá tak môžeš ekvivalentne obidve strany napísať ako mocnitele čísla e

zuzik1 · 12. 11. 2011 21:10

Aha děkuji za nové informace a hlavně za pomoc díky.

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2011 19:57

Diferenciální rovnice

#2 12. 11. 2011 20:27 — Editoval jarrro (12. 11. 2011 20:32)

Re: Diferenciální rovnice

#3 12. 11. 2011 20:39

Re: Diferenciální rovnice

#4 12. 11. 2011 20:46

Re: Diferenciální rovnice

#5 12. 11. 2011 21:05

Re: Diferenciální rovnice

#6 12. 11. 2011 21:10

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí