Matematické Fórum

found · 12. 11. 2011 17:07

Zdravím,

potřeboval bych poradit s limitou ze sbírky od mr. Kopáčka - Sbírka příkladů matematické analýzy pro fyziky.

Jedná se o tento příklad:

$\lim_{x \to +\infty } \frac{(x-1)(x^2-1)\cdots (x^n - 1)}{(n^nx^n+1)^{\frac{n}{2}(n+1)}}$

Nenapadá mě žádná úprava, kterou bych mohl udělat. Napadl mě akorát binomický rozvoj jmenovatele, jenže to zrovna dvakrát nepomůže, jestli jsem ho dělal dobře. Navíc se tam neví, zda je vždy exponent přirozené číslo.

Zřejmě by to asi chtělo něco vytknout nebo tak, ale já jsem vážně v koncích, tak se omlouvám, že neuvádím žádný vlastní postup.

Děkuji,
Jimmy.

OiBobik

↑ found:

Ahoj,

Pozn: Je to tedy limita pro x jdoucí do nekonečna, nikoli n?

Jestli ano, pak se zkrátka ze jmenovatele i čitetele vytkne dominantní člen:

$\lim_{x \to +\infty } \frac{(x-1)(x^2-1)\cdots (x^n - 1)}{(n^nx^n+1)^{\frac{n}{2}(n+1)}}=\\=\lim_{x \to +\infty } \frac{x^{1+2+\dots+n}(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x^2})\dots (1-\frac{1}{x^n})}{x^{\frac{n^2(n+1)}{2}}(n^n+\frac{1}{x^n})^{\frac{n(n+1)}{2}}}=\\=\lim_{x \to +\infty } $ \frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}}}{x^{\frac{n^2(n+1)}{2}}}\cdot \frac{(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x^2})\dots (1-\frac{1}{x^n})}{(n^n+\frac{1}{x^n})^{\frac{n(n+1)}{2}}} $$

a použije se aritmetika limit, jelikož n lze chápat jako konstantu.

Ovšem kdyby proměnná byla n (třeba přirozené, tedy by šlo o limitu posloupnosti) a x byl reálný parametr, asi by to bylo zajímavější (a pravděpodobně i těžší).

found · 12. 11. 2011 22:28

↑ OiBobik:

Děkuji, vypadá to úžasně jednodušše, akorát já tam nějak nevidím ta pravidla, která se používají. Pokud vytknu dominantní člen, vytknu v tomhle případě který? V čitateli úpravu chápu, ale jmenovatel mi moc nedochází. Jak můžu dostat $\frac{1}{x^n}$ ?

OiBobik

↑ found:

oprava, vypadl mi tam exponent u té závorky (opraveno přímo tam). Omlouvám se za případné zmatení.

Zkrátka postupuji $$n^nx^n+1$^{\frac{n$n+1$}{2}}=$x^n\(n^n+\frac{1}{x^n}$ \)^{\frac{n(n+1)}{2}}=x^{\frac{n^2(n+1)}{2}} $ n^n+\frac{1}{x^n} $^{\frac{n(n+1)}{2}}$

ten výběr, co vytknout, tedy co je dominantní člen a co ne, bývá vesměs heuristický a řídí se takovou tou "růstovou škálou" - zde je to jasné, jelikož jsou tu jen mocninné funkce a konstanty, akorát matoucí, jelikož ty konstanty se jmenují písmeny a nedej bože mají ještě písmenné exponenty.

Jo a pozor (teď jsem si všiml jedné zmínky v úvodním příspěvku): ví se, že exponent je přirozené číslo:
Jde-li o to, že n je zadáno jako přirozené, to je jasné ze tvaru zadání čitatele "třemi tečkami" (pro n, které není přirozené, to zkrátka nedává kloudný smysl)
Jde-li o to, že $\frac{n(n+1)}{2}$ je přirozené, to je zase jasné z toho, že 1) je to součet prvních n přirozených čísel, nebo taky 2) v čitateli je součin sudého a lichého čísla, tedy čitatel je sudý.

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2011 17:07

Limita funkce

#2 12. 11. 2011 21:36 — Editoval OiBobik (12. 11. 2011 23:02)

Re: Limita funkce

#3 12. 11. 2011 22:28

Re: Limita funkce

#4 12. 11. 2011 23:01 — Editoval OiBobik (12. 11. 2011 23:28)

Re: Limita funkce

Zápatí