Matematické Fórum

lamnik · 13. 11. 2011 09:10

Dobrý den,
nevím si rady s takto triviálním příkladem, doufám, že mi budete moci pomoct. Nevím jak vyčíst z tabulky jaké axiomy platí... Vím, že komutativní zákon plyne z toho, že tabulka je symetrická podle hlavní diagonály.
Zajímá mě spíše postup než výsledek, výsledky mám.
Pak dále vím, že Inverzní Prvky existují, když v každém řádku se nachází každý prvek z množiny jednou... Doufám, že i to je správně, ale jak vyšetřit Asociativní zákon, zákon kráceni a neutrání prvek to už nevím... Díky za rady

((:-)) · 13. 11. 2011 09:21

↑ lamnik:

Laicky: Vypísala by som si dvojice, čo tá operácia robí (dvoma smermi).

Ak si si istý, že platí komutatívny zákon, tak oboma smermi netreba.

Pozri sa potom, či existuje neutrálny prvok - to znamená prvok, ktorý každému prvku priradí sám tento prvok (ako 1 operáciu násobenia čísel alebo 0 pre operáciu sčitovania alebo odčitovania).

lamnik · 13. 11. 2011 09:44

↑ ((:-)):
Jo, díky, takže neutrální prvek v tomto případě by byl kosočtverec, takže existuje, dále IP také existují, podle tohoto tvrzení: když v každém řádku se nachází každý prvek z množiny jednou existují IP.
Ale jak je to s asociativní zákonem a zákony krácení?

OiBobik

↑ lamnik:

že daná operace je s (oboustranným) krácením je jasné taktéž z toho, že v každém řádku a sloupci jsou vždy všechny symboly, neboť každý z nich se tam vejde právě jednou:

mějme $x \circ y=x \circ z=A$ . V řádku příslušejícímu $x$ se symbol $A$ vyskytuje právě v jednou, tedy odpovídající sloupec musí příslušet jak prvku $y$ , tak prvku $z$ . Odtud je snadno vidět, že nutně $y=z$ .

Obdobně se ukáže pravé krácení pro sloupce.

lamnik · 13. 11. 2011 10:08

↑ OiBobik:
hm a polopatě by, tak abych to pochopil třeba na tomto příkladě... že v prvním řádku si vemu žaludy a přiřazuju k němu všechny hodnoty sloupců, takže žaludy a z toho bude kosočtverec, pak kosočtverec z toho bude ale jiný výsledek, a každy takovýhle výsledek musí být jiny, takže aby platilo krácení zprava, musí být v každém řádku jiný prvek a právě jednou...?? tak to je potom stejné jako inverzní prvky ne?

OiBobik

↑ lamnik:

Tak tedy na příkladu:

Mějme $\clubsuit \circ \spadesuit=\clubsuit \circ x$ a chceme ukázat, že $x=\spadesuit$ .
Tak nejprve víme, že $\clubsuit \circ \spadesuit=\clubsuit \circ x=\heartsuit$ . No a když se podíváš do tabulky, kterou máš předepsanou binární operaci $\circ$ , na řádek, příslušející prvku $\clubsuit$ , tak vidíš, že $\heartsuit$ je v něm uveden jako výsledek operace $\circ$ pouze pro jediný pravý argument, a sice $\spadesuit$ . Z čehož vyplývá, že $x=\spadesuit$ .
Jinak řečeno, $(\clubsuit \circ \spadesuit=\clubsuit \circ x) \leftrightarrow (\spadesuit = x)$ , tedy "vykrácení" prvkem $\clubsuit$ , je ekvivalentní úprava. No a pokud víme, že pro každý prvek platí, že každý prvek je takto obsažen v příslušném řádku jako výsledek operace $\circ$ nejvýše jednou, tak takto můžeme krátit zleva libovolný prvek. Pro krácení zprava si stačí rozmyslet, že potřebné kritérium je stejné, akorát na sloupce.

___________________________________________________________________________________
POZN: ten inverzní prvek je totiž v jistém smyslu silnější, než levé/pravé krácení (za podmínky asociativity operace $\circ$ ). Tedy kdybychom měli i tu asociativitu, nebyl by problém levé i pravé krácení dokázat z existence oboustranně inverzních prvků:
Nechť $x\circ y=x\circ z$ , pak $x^{-1}\circ(x\circ y)=x^{-1}\circ(x\circ z)$ , z asociativity pak $(x^{-1}\circ x)\circ y=(x^{-1}\circ x)\circ z$ a tedy $y=z$ .

Potíž je, že mi nějak nedochází, jak by se vykoukala ta asociativita z oné tabulky, leda nějakým chytrým rozborem případů. : ))