Matematické Fórum

Nazdar,

a s čím konkrétně je tedy problém? S důkazem Zornova lemmatu, či s nějakým jeho pochopením…?

↑ Olin:
Nechápu ho a nevím, co potřebuju k důkazu. Tedy v případě nekonečné množiny.

Andrejka3 napsal(a):

↑ Lukee:Pokud by to byl interval (0,1), pak není shora omezený a není splněn předpoklad lemmatu.

Interval (0, 1) je shora omezený. Viz třeba Wiki:

„A set S of real numbers is called bounded from above if there is a real number k such that k ≥ s for all s in S. The number k is called an upper bound of S.” (Na české Wiki to mají podobně, akorát tam mají ostrou nerovnost, to vidím prvně.)

Ten prvek, který omezujeme, nemusí být z té množiny, kterou chceme omezit. Ale v případě tohoto lemma být musí, aby to dávalo smysl. Opět viz Wiki:

„Suppose a partially ordered set P has the property that every chain (i.e. totally ordered subset) has an upper bound in P. Then the set P contains at least one maximal element.”

Andrejka3 napsal(a):

Není shora omezený (v A)

Ta závorka je to, co se snažím říci — ta informace „v A” v lemma, které je nahoře napsané, chybí.

↑ Andrejka3:
Zornovo lemma (též nazývané princip maximality) se používá v mnoha existenčních důkazech, kde chceme najít právě ten maximální prvek vůči nějakému uspořádání (kterýmžto je nejčastěji uspořádání inklusí).

Např. chceme dokázat, že každou lineárně nezávislou podmnožinu nějakého vektorového prostoru jsme schopni doplnit na bázi; není obtížné nahlédnout, že hledanou bází bude právě (v inklusi) maximální lineárně nezávislá nadmnožina , přičemž její existenci ukážeme právě Zornovým lemmatem. Jiným příkladem může být tvrzení, že každé částečné uspořádání lze "zúplnit" na lineární uspořádání (provede se obdobně).

Co se týče důkazu samotného lemmatu, obvykle se v něm využívá ordinálních čísel (postupně budujeme v zadané uspořádané množině ostře rostoucí "posloupnost" očíslovanou ordinály, což se jednou musí zastavit), viz např. na PlanetMath. Jeden poměrně dlouhý, avšak elementární důkaz lze najít v knize Teorie množin od Balcara a Štěpánka. Pak jsem ještě narazil na tento článek, který se tváří, že to dokazuje nějak rychle a jednoduše, ale prokousat se jím bude patrně vyžadovat jisté netriviální úsilí.

Andrejka3 napsal(a):

Trochu mě štve, že občas narazím v důkazu na lemma / větu, kterou nemám dokázanou a k jejím důkazu je třeba se prokousat další hordou matematiky.

Ak mozem, mal by som k tomu drobnu poznamku.

V skutocnosti naucit sa pouzivat ZL nie je velmi tazke - ked si clovek odskusa par jej aplikacii, tak potom je to uz na jedno kopyto.

Pokial by clovek ale chcel zvladnut teoriu potrebnu na jej dokaz - ordinaly, transfinitnu indukciu - tak je s tym viac prace. Samozrejme, nauci sa pri tom vela uzitocnych veci. Ale na to, aby ju vedel pouzivat, tak tieto veci nepotrebuje.

Je to tak trochu podobne ako s prvackou analyzou - clovek sa moze naucit integrovat, derivovat, ratat limity aj bez toho, aby vedel uplne dokonale teoriu za tym a vsetky dokazy.

Pre prax je asi dolezitejsie vediet derivovat/vediet pouzivat Zornovu lemu.

Ale aby si videla, ze nie si sama, komu sa to nepozdava, zacitujem z clanku
P. Zlatoš: O dobrom usporiadaní a axióme výberu http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/wo/DUAC1w.pdf

Hoci jazyk teórie množín v súčasnej matematike, zdá sa, už nadobro prevládol, v skutočnosti len nepatrný zlomok hlbších výsledkov tejto teórie nachádza širšie uplatnenie v ostatnej matematike. K nim bezosporu patrí najmä axióma výberu, či niektoré jej ekvivalenty - ako napr. rôzne princípy, maximality, - dôkazy transfinitnou indukciou či konštrukcia transfinitnou rekurziou. Je preto iróniou a paradoxom, že v súčasnom systéme vzdelávania a výchovy matematikov u nás sa poslucháči s týmito výsledkami nezosnámia, hoci sa považuje za samozrejmé, že ich plody (napr. hahnova-Banachova veta vo funkcionálnej analýze, alebo Tichonovova veta v topológii) sa bežne využívajú. Ich dôkazy, pokiaľ sa vôbec podávaju, tak spočívajú na nevyjasnených predpokladoch.