Matematické Fórum

zuzik1 · 13. 11. 2011 14:33

Ahoj zasekla jsem se u jednoho příkladu.

Zadání:
Najděte metodou variace konstant obecné řešení diferenciální rovnice
$y^{\prime\prime}-2y^\prime=xe^x$

Začala jsem tím, že jsem tu rovnici převedla na charakteristickou rovnici
$\lambda ^2-2\lambda =0$

kořeny mi vyšly $\lambda _1=0 \ a\ \lambda_2=2$

Fundamentální systém řešení potom je $y_1=e^{0x}\ a\ y_2=e^{2x}$

Pak řeším nehomogení úlohu metodou variace konstant, kde řešení hledám ve tvaru:
$y=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2=C_1+C_2e^{2x}$ , kde $C_1(x)\ a\ C_2(x)$ splňují tuto soustavu

$C^\prime_1(x)+C^\prime_2e^{2x}=0$ a druhá rovnice má být derivací té první, ale zasekla jsem se u toho derivování té konstanty $C_1(x)$ nevím jestli to mám napsat jako 0 nebo tam nechat $C^\prime_1(x)$

Nevím zda to mám řešit přes soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo to bude jednodušší přes determinant (Cramerova pravidla).

Výsledek má vyjít $y(x)=C_1e^{2x}+C_2-xe^x$

Děkuju za pomoc.

kompik · 13. 11. 2011 16:28

↑ zuzik1:

Zdá sa mi to zbytočne komplikovaný prístup. Ak položím $u(x)=y'(x)$ , tak môžem riešiť rovnicu prvého rádu $u'-2u=xe^x$ . (A keď nájdem jej riešenia, tak y už ľahko dorátam. Je ľahšie rátať rovnicu prvého rádu než druhého.)

Riešenie homogénnej rovnice $u'-2u=0$ je $Ce^{2x}$ . Riešenie nehomogénnej teda hľadám v tvare $u(x)=C(x)e^{2x}$ .

Keď dosadíme $u'(x)=C'(x)e^{2x}+2C(x)e^{2x}$ do sústavy ktorú riešim, dostanem

$u'-2u=C'(x)e^{2x}=xe^x$

$C'(x)=xe^{-x}$

$C(x)=\int xe^{-x} \mathrm{d}x = -e^{-x}-xe^{-x}+C$

$u(x)=C(x)e^{2x}= - e^x - xe^x +Ce^{2x}$

Vyrátal som $u(x)$ , z~toho už ľahko dostaneme

$y(x)=\int u(x) \mathrm{d} x = \underline{\underline{-xe^x + \frac C2 e^{2x} +C_2}}$

zuzik1 · 13. 11. 2011 16:41

Děkuju za zjednodušení :-) akorát nemáš v tom výsledku chybu? nebo je jedno jestli konstntu dělím dvěma nebo ne?

kompik · 13. 11. 2011 16:49

↑ zuzik1:
Ked C je lubovalna realna konstanta, mozem si C/2 oznacit novym symbolom C_1 - tiez to bude prebiehat vsetky realne cisla.

To iste inymi slovami - ak mne vyslo, ze pre lubovolnu volbu C dostanem riesenie, tak si mozem zvolit aj C=2C_1, kde C_1 je dane cislo.

zuzik1 · 13. 11. 2011 16:50

Ok na to jsem zapoměla děkuju.

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2011 14:33

Nehomogení doferenciální rovnice

#2 13. 11. 2011 16:28

Re: Nehomogení doferenciální rovnice

#3 13. 11. 2011 16:41

Re: Nehomogení doferenciální rovnice

#4 13. 11. 2011 16:49

Re: Nehomogení doferenciální rovnice

#5 13. 11. 2011 16:50

Re: Nehomogení doferenciální rovnice

Zápatí