Matematické Fórum

Queeg 500 · 15. 11. 2011 09:00

Zadání
Rozhodni, zda je následující skupina báze R4
u1 = (1;2;0;1) u2 = (3;7;2;1) u3 = (-1;1;5;-1)
Ověřil jsem nezávislost, ale nevím, jak se s tím má pokračovat.
Vytvořil jsem rovnici
x = c1u1 + c2u2 + c3u3, tu pak rozepsal na soustavu, ale tam už jsem byl v koncích. Můžete mi prosím někdo poslat, jak postupovat dál? Ani mi není moc jasný, kdy vektory tvoří a kdy netvoří bázi R^n. Díky moc.

Rumburak · 15. 11. 2011 09:32

Víš něco o dimensi prostoru R^4 ?

Queeg 500 · 15. 11. 2011 09:36

↑ Rumburak:
No, musím říci, že tomu fakt nějak nerozumím, studuju dálkově a těch 30 vteřin výkladu nějak nestačilo. Pak už jsme se k tématu nevraceli.

Rumburak

↑ Queeg 500:

Docela přehledně je to vyloženo, myslím zde.

EDIT. Ale chtělo by ještě to zkonfrontovat s nějakým podrobnějšám materiálem (třeba skripta). Leccos je i na webu,
hledej pod hesly "vektorový prostor" , "lineární prostor", "lineární (ne)závislost vektorů", "báze", "dimense".

Queeg 500 · 15. 11. 2011 11:29

↑ Rumburak:
Já už jsem o tom něco početl, ale nějak to pořád není ono. Myslím, že nejlíp bych to pochopil na konkrétním příkladu s postupem řešení. Na přednášce jsme pro ilustraci měli příklad s dvěma vektorama a každej měl dvě složky. To docela pobírám, ale tři čtyřsložkový vektory, to už nějak nejde. Pokud bys mi mohl poslat, jak by ses s daným zadáním vypořádal, řekl bych, že už bych zvládl i další podobný příklady.

Rumburak · 15. 11. 2011 11:56

↑ Queeg 500:
V $\mathbb{R}^4$ existuje tzv. standardní báze tvořená vektory

$\vec{e}_1 = ( 1, 0, 0, 0 )$ ,
$\vec{e}_2 = ( 0, 1, 0, 0 )$ ,
$\vec{e}_3 = ( 0, 0, 1, 0 )$ ,
$\vec{e}_4 = ( 0, 0, 0, 1 )$ ,

takže například vektor $\vec{w} = ( 2, 0 , -7, 1 )$ má v této bázi (označmč ji třeba E) jednoznačně určené vyjádření

$\vec{w} = 2 \vec{e}_1 + 0 \vec{e}_2 + (-7) \vec{e}_3 + 1 \vec{e}_4)$ .

Jak vidíme , uvažovaná báze E prostoru $\mathbb{R}^4$ má 4 prvky, tudíž

KAŽDÁ báze prostoru $\mathbb{R}^4$ musí mít 4 prvky

(to je obsah výroku, že dimense prostoru $\mathbb{R}^4$ je 4) .

Odtud vyplývá odpověď pro Tvoji úlohu.