Matematické Fórum

Marian · 04. 08. 2008 14:49

Série prázdninových úloh jaksi utichá. Několik hezkých témat jsme zde ale ještě neprobrali. A jak nadpis napovídá, šáhl jsem do teorie nekonečných řad. Byla by tady jedna velmi hezká úloha o transformaci nekonečné řady. Zde je přesnější zadání:

Najděte součet nekonečné řady v uzavřeném tvaru (napovím, že k jeho zápisu si vystačíte s mocninou čísla pí v jistém zlomku)
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3},$
kde $H_n$ označuje tzv. n-té harmonické číslo prvního řádu definované pro všechna přirozená čísla n jako
$H_n:=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j},$
víte-li, že platí
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi ^2}{6}.$

Úloha je skutečně snadno řešitelná a především elegantně. Není potřeba jediného integrálu, pouze základní znalosti v oboru teorie nekonečých řad.

Pavel · 04. 08. 2008 15:58

↑ Marian:

Vezmu si problém do Provance a uvidím, co se s tím dá dělat.

Marian · 04. 08. 2008 16:01 — Editoval Marian (04. 08. 2008 16:01)

↑ Pavel:

Kdyby se to nechtělo poddat, stoč to jednoduše do Kleinovy lahve (prefix do pekla je 00 666).

Pavel · 04. 08. 2008 16:57 — Editoval Pavel (04. 08. 2008 16:59)

↑ Marian:

Roaming mám, takže to nebude problém. Díky bohu, že nejedu do Vatiknu :-)

jelena · 05. 08. 2008 00:39

↑ Marian:, ↑ Pavel:

"Nejdřív to vemem do Marsej" :-) :-) :-)

OT, ale když moje absolutně nejoblibenejší skladba tak dobře ladí k tematu :-) Hezkou cestu :-)

Pavel · 05. 08. 2008 01:16

Díky, za pár hodin vyrážím. Marsej je v plánu, pak Avignon, Arles a Toulon (skoro jsem napsal toluen :-) )

Marian · 09. 08. 2008 12:37

Uběhlo 5 dní a nikdo nepřišel s jediným návrhem. Patrně za to může nedostatek času o prázdninách a volnočasové aktivity. Myslím, že je čas na menší nápovědu.

Pokuste se zapsat n-té harmonické číslo $H_n,\quad n\in\mathbb{N}$ pomocí nekonečné řady (napovím, že se bude jednat o řadu, jež lze sečíst teleskopickou metodou, takže žádné komplikované výrazy bych v tom nehledal). Dostanete se tak ke dvojnásobné nekonečné řadě s kladnými členy.

A to by mohlo pro začátek stačit ...

Pavel Brožek

Nápověda pomohla. Součet označím $S$

$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}}{n^3}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{1}{j}-\frac{1}{j+n}\right)}{n^3}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{j=1}^{\infty}\frac{n}{j(j+n)}}{n^3}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{jn^2(j+n)}=$

Členy řady jsou kladná čísla, takže můžeme řadu přerovnat

$=\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{jn^2(j+n)}=\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{j^2n^2}-\frac{1}{j^2n(j+n)}\right)=\nl=\sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{1}{j^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{j^2n(j+n)}\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^2}\frac{\pi^2}{6}-\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{j^2n(j+n)}=\frac{\pi^4}{36}-S$

Čili máme rovnici pro $S$ , z které $S=\frac{\pi^4}{72}$ .

Tak jsem teda ukázal kolik je součet, pokud řada konverguje. To, že konverguje je zřejmé, protože $H_n\leq n$ , $\frac{H_n}{n^3}\leq \frac{1}{n^2}$ , a podle srovnávacího kritéria pro řady s nezápornými členy řada konverguje.

Marian · 24. 08. 2008 08:05 — Editoval Marian (24. 08. 2008 08:05)

↑ BrozekP:
Bingo!

Trik, který znám já je tento ...

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\frac{1}{m}-\frac{1}{m+n}}{n^3}= \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n^2m(m+n)}=\nl \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2n(n+m)}.$
Tedy
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}=\frac{1}{2}\left (\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{n^2m(m+n)}+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2n(n+m)}\right )=\nl \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m+n}{m^2n^2(m+n)}=\frac{1}{2}\left (\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right )\cdot\left (\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2}\right )=\frac{1}{2}\left (\frac{\pi ^2}{6}\right )^2=\boxed{\frac{\pi ^4}{72}}.$

Matematické Fórum

#1 04. 08. 2008 14:49

Prázdninová nekonečná řada

#2 04. 08. 2008 15:58

Re: Prázdninová nekonečná řada

#3 04. 08. 2008 16:01 — Editoval Marian (04. 08. 2008 16:01)

Re: Prázdninová nekonečná řada

#4 04. 08. 2008 16:57 — Editoval Pavel (04. 08. 2008 16:59)

Re: Prázdninová nekonečná řada

#5 05. 08. 2008 00:39

Re: Prázdninová nekonečná řada

#6 05. 08. 2008 01:16

Re: Prázdninová nekonečná řada

#7 09. 08. 2008 12:37

Re: Prázdninová nekonečná řada

#8 23. 08. 2008 18:20 — Editoval BrozekP (23. 08. 2008 18:29)

Re: Prázdninová nekonečná řada

#9 24. 08. 2008 08:05 — Editoval Marian (24. 08. 2008 08:05)

Re: Prázdninová nekonečná řada

Zápatí