Matematické Fórum

jiskra · 16. 11. 2011 01:46

mam tento priklad spravne spocitany i postup? nerad bych aby mi zase neco chybelo.

Code:

Nalezněte jádro a obor hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2 definovaného předpisy

A((1,1,-1))=(1,1)
A((1,-1,1))=(2,2)
A((-1,1,1))=(-1,-1)

najdu jadro:
[0,0]=a1A(f1)+a2A(f2)+a3A(f3)
[0,0]=a1[1,1]+a2[2,2]+a3[-1,-1]

1 2 -1 0 ~ 1 2 -1 0
1 2 -1 0 ~ 0 0 2 0

a1=-2p, a2=p, a3=0; p $_\in$ R
x = $a_1(f_1)+a_2(f_2)+a_3(f_3)$ = -2p[1,1,-1]+1p[1,-1,1]+0p[-1,1,1] = [-1p,-3p,-1p] = p[-1,-3,-1]

Jadro $N(A)= \{x\in R^{3}: x=p[-1,-3,-1] ,p \in R\}$ = <[-1,-3,-1]>

urcim obor hodnot:
$H(A)=\{A(x)\in R^{2}:x\in R^{3}, x=a_1A(f_1)+a_2A(f_2)+a_3A(f_3)\}$
H(A)=<[1,1],[2,2],[-1,-1]> = [1,1]
protoze 2.[1,1]=[2,2] $_\wedge$ -1.[1,1]=[-1,-1] jsou tedy obsazene v [1,1]

Obod hodnot $H(A)= \{<[1,1]> \}$

Andrejka3 · 16. 11. 2011 09:11

↑ jiskra:
Ahoj.
Pro kontrolu je dobré využít obecné vlastnosti lineárních zobrazení mezi prostory konečné dimenze.
Dimenze prostoru, z něhož zobrazujeme se rovná součtu dimenzí jádra a oboru hodnot.
Zde zobrazujeme z prostoru dimenze 3. Jádro Ti vyšlo jednodimenzionální a obor hodnot rovněž. Takže by někde měla být chyba.

Andrejka3 · 16. 11. 2011 09:24

↑ jiskra:
Obor hodnot máš správně.
Není mi jasné, jak počítáš jádro.
Nechceš to rozepsat?

jiskra · 16. 11. 2011 10:35

pri psani jsem pouze zkratil zapis upravy matice

1 2 -1 0 ~ 1 2 -1 0
1 2 -1 0 ~ 0 0 2 0

cele je

1 2 -1 0 ........~ 1 2 -1 0 ........~ 1 2 -1 0
1 2 -1 0 r2-r1 ~ 0 0 2 0 1/2r1 ~ 0 0 1 0

jinak jsem napsal kompletni muj postup.

slovne:
1,hledam vektor a $_\in$ R2, ktery je nulovym vektorem $_\in$ R2
a=[a1=-2p, a2=p, a3=0; p $_\in$ R]

2,vypocitam pomoci nuloveho vektoru a zobrazeni A(f1), A(f2), A(f3) jadro. A(f1)=A(1,1,-1) ...
$a_1(f_1)+a_2(f_2)+a_3(f_3)$

nejsem si jisty jestli mam postup spravne, ale HLAVNE nevim jestli mi neco nechybi. posledne mi neuznal priklad i pres spravne reseni. Proto taky chci vedet jestli mi nechabi neco duleziteho.

Andrejka3 · 16. 11. 2011 10:41

↑ jiskra:
Než se tím budu podrobněji zabývat, upozorním na chybu při Gaussově eliminaci:
matice, která má dva stejné řádky, vlastně obsahuje jedinou nezávislou rovnici, takže správně je:
1 2 -1 0 ~1 2 -1 0
1 2 -1 0 ~0 0 0 0
odkud je vidět, že můžeme volit dva parametry libovolně a třetí se dopočítá z té jediné netriviální rovnice... proto je jádro dvoudimenzionální.
Chápeš? Zkus si to opravit a dopočítat.

jiskra · 16. 11. 2011 11:27

hmm uz z toho blbnu:

1 2 -1 0 ~1 2 -1 0
1 2 -1 0 ~0 0 0 0
a1=p-2q, a2=q, a3=p ; p, q $_\in$ R

ano?

Andrejka3

↑ jiskra:
Dovol mi, upravit si značení (abych nemusela psát indexy).
u = (1,1,-1), v= (1,-1,1), w = (-1,1,1). Známe obrazy těchto vektorů.
u,v,w tvoří bázi $\mathbb{R}^3$ a vůči této bázi má matice zobrazení tvar
A=(1 2 -1)
(1 2 -1) , což znamená, že pro každý vektor z $\mathbb{R}^3$ , zapsaný jako
$z = \alpha u+ \beta v + \gamma w$ , kde řecká písmena jsou souřadnice $z$ vůči bázi $u,v,w$ platí:
A . ( $\alpha$ ) = ( $A(z)_1$ )
( $\beta$ ) ( $A(z)_2$ )
( $\gamma$ )
, kde vpravo jsou souřadnice obrazu z $\mathbb{R}^2$ vzhledem ke kanonické bázi (1,0),(0,1).

Jádro. Hledáme takové vektory z, že
A . ( $\alpha$ ) = (0)
( $\beta$ ) (0)
( $\gamma$ )
Gaussovou eliminací dostaneme,
(1,2,-1)
(0,0, 0), takže
můžeme volit libovolně souřadnice $\beta , \gamma$ vektoru $z$ . Pro souradnici prvni plati (viz prvni radek matice):
$\alpha = -2\beta + \gamma$
Zjistili jsme, že každý vektor $z$ jádra lze napsat jako
$z = \alpha u+ \beta v + \gamma w = (-2\beta + \gamma)u + \beta v + \gamma w = \cdots$ Zbylé úpravy spočívají v tom, že za u,v,w dosadíme a roznásobíme, bety, gammy dáme k sobě a pak vyjde něco takového:
$\cdots = \beta u_1+ \gamma u_2$ , kde $u_1,u_2$ dopočítáš :)
Pak muzes psat, ze jadro je $\langle u_1,u_2 \rangle$ , protoze vysledek byl zapsany prave jako linearni kombinace techto dvou vektoru.
Pozor, vektory $u,u_1,u_2$ spolu nemají nic společného, jen mě došla písmenka.
Musím na oběd,
zatím.

jiskra · 16. 11. 2011 11:41

dal by mi to vychazelo takhle:
= p-2q[1,1,-1]+1q[1,-1,1]+1p[-1,1,1] =
= [1p-2q, 1p-2q, -1p+2q]+[1q, -1q, 1q]+[-1p, 1p, 1p] =p[0,2,0] ; q[-1,-3,3]

ale se 2 parametrama nemam zkusenosti, takze se jen domyslim.

jiskra · 16. 11. 2011 12:53

takze je spravna odpoved ? :
"Jadro je <[0,2,0] , q[-1,-3,3]>, protoze vysledek je zapsany prave jako linearni kombinace techto dvou vektoru."

Andrejka3

↑ jiskra:
Ano. Takto mi to vyšlo.
q tam psát nemusíš, první vektor můžeš vynásobit 1/2.
Edit:
{Jen dumám nad tím, že podle výsledku by měl být vektor $v$ prvkem jádra ale zjevně není - jeho obraz je podle zadání zjevně není.} To v zavorce je nesmysl, nechavam to zde, abych neudelala vetsi zmatek.
Edit:
Promiň, píšu už nesmysly.
Je to vše správně.
Vektor (0,1,0) je v jádru!
Vše už je vpořádku!

Andrejka3

↑ jiskra:
Takže, jádro je $\langle (-1,-3,3),(0,1,0)\rangle$ , stejně to vyšlo Tobě.
Omlouvám se za zmatek.
A

jiskra · 16. 11. 2011 13:18 — Editoval jiskra (16. 11. 2011 13:19)

dekuji za pomoc, me tesi ze kdybych se nesekl v uprave matice tak defakto mam stejny vysledek jako ty.

moc mi to pomohlo

Andrejka3

↑ jiskra:
Můžeš se přesvědčit. Ten zmatek jsem vyrobila kvůli následující skutečnosti:
Matice A je vyjádřená vzhledem k bázi u,v,w. Jádro jsme zapsali jako kombinaci vektorů, jehichž souřadnice ale vyjadřujeme vůči kanonické bazi.
Kdybychom chtěli vyjádřit jádro jako lineární kombinaci dvou vektorů v souřadnicích původní baze, tj. u,v,w, jenom bychom nedosadili za u,v,w do rovnice a vyšlo by nám:
$z= \alpha u + \beta v + \gamma w = (-2\beta +\gamma) u + \beta v + \gamma w$ , coz nám říká, že v bázi u,v,w jsou souřadnice vektoru $z$ :
$(-2\beta + \gamma,\beta,\gamma) = \beta (-2,1,0) + \gamma (1,0,1)$
To si lze jednoduše ověřit tak, že vektorem (-2,1,0) vynásobíme matici A zprava a musí vyjít nulový vektor.
Stejně tak s vektorem (1,0,1).
To, že pak obraz každé jejich lineární kombinace je nulový vektor je důsledkem linearity zobrazení.
Hodně štěstí v Lineární Algebře.
A

jiskra · 16. 11. 2011 13:36

ano to budu potrebovat.

to posledni vysvetleni mi zas kousek objasnilo jak to jadrem a vektory je :) to nam ve skole nerekli. (jen predpokladaji , ze to buh vi odkud uz vime a ja jsem pritom rad ze ziju)

Andrejka3 · 16. 11. 2011 13:45

↑ jiskra:
Kdyby náhodou, prof. Souček (nebo možná doktor Somberg) na MFF napsal skripta z lineární algebry pro prváky fyziky. Jsou stručná, ale obsahují základní pojmy. Doporučuji si je stáhnout.
Je samozřejmě vždy otázka, zda je lepší vědět trochu více teorie nebo ne. Když se to nepřehání, pomůže to pak k získání větší jistoty a přehledu. Zas na druhou stranu, když se to přežene, člověk se nikam nedostane.

jiskra · 16. 11. 2011 13:55

urcite bych se rad podival, slo by dat link? nebo poslat na email. dekuji

Rumburak · 16. 11. 2011 14:01

↑ jiskra:
Ten link na příslušná skripta jsem viděl v tomto vlákně , příspěvek tušímže #7 .

Andrejka3 · 16. 11. 2011 14:02

↑ jiskra:
Odkaz
Linearni algebra ZS

jiskra · 16. 11. 2011 14:09

dekuji obema :)

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2011 01:46

jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

Code:

#2 16. 11. 2011 09:11

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#3 16. 11. 2011 09:24

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#4 16. 11. 2011 10:35

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#5 16. 11. 2011 10:41

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#6 16. 11. 2011 11:27

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#7 16. 11. 2011 11:29 — Editoval Andrejka3 (16. 11. 2011 11:52)

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#8 16. 11. 2011 11:41

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#9 16. 11. 2011 12:53

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#10 16. 11. 2011 12:57 — Editoval Andrejka3 (16. 11. 2011 13:13)

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#11 16. 11. 2011 13:09 — Editoval Andrejka3 (16. 11. 2011 13:10)

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#12 16. 11. 2011 13:18 — Editoval jiskra (16. 11. 2011 13:19)

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#13 16. 11. 2011 13:26 — Editoval Andrejka3 (16. 11. 2011 13:27)

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#14 16. 11. 2011 13:36

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#15 16. 11. 2011 13:45

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#16 16. 11. 2011 13:55

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#17 16. 11. 2011 14:01

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#18 16. 11. 2011 14:02

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

#19 16. 11. 2011 14:09

Re: jádro a obro hodnot lin. zobrazení A: R^3 -> R^2

Zápatí