Matematické Fórum

lukaszh · 05. 08. 2008 13:31

Zdravim,
chcel by som sa spytat, aky je obecny postup pri hladani suprema. Napriklad, ak je dana mnozina
$\mathbb{A}=\left\{\frac{n+1}{n+3}\,;\,\,n\in\mathbb{N}\right\}$ .
Ja som si na to nasiel takyto postup:
$\sup\mathbb{A}=k\nl \left(\frac{n+1}{n+3}\leq k\right)\Rightarrow\left(n\leq\frac{3k-1}{1-k}\,;\,\, k\ne 1\right)$
Odtial som zistil, ze zlomok je definovany pre kazde k okrem k=1. A to je aj supremom. No preco, to neviem. Tak mi to vychadza aj pri inych mnozinach, ze to cislo, ktore nevyhovuje podmienkam je supremum. Len keby som hladal infimum, dospejem k tomu istemu len bude opacny znak nerovnosti. Tak uz ale neplati, ze infA=1.
Dik za pomoc...

Kondr · 05. 08. 2008 14:11

Obecný postup hledání suprema posloupnosti a_i bych popsal asi takto: je důležité rozmyslet, kde je posloupnost rostoucí a kde klesající, tj. pro která i je a_(i+1) větší než a_i. Supremum může být rovno
a) a_1
b) a_i, kde $a_{i-1}\leq a_i\geq a_{i+1}$
c) lim a_i, kde i jde k nekonečnu

V našem případě je posloupnost a_i=(i+1)/(i+3) rostoucí, případ b) nastat nemůže. Protože a_1 je 1/2 a lim a_i je 1, je supremum rovno 1.

Jinak infimum může být
a) a_1
b) a_i, kde $a_{i-1}\geq a_i\leq a_{i+1}$
c) lim a_i, kde i jde k nekonečnu

Matematické Fórum

#1 05. 08. 2008 13:31

supremum

#2 05. 08. 2008 14:11

Re: supremum

Zápatí