Matematické Fórum

George1511 · 05. 08. 2008 15:48

Prosim o pomoc s těmito dvěma příklady vubec si snimi nevim rady..(nechapu ani postup pocitani...)
a potřeboval bych to nejak pochopit prosim budu to potřebovat k reparatu...
Určete 8 člen rozvoje výrazu: $(\frac{1}{2}-i)^{10}$

Určete 3 člen rozvoje výrazu: $(-i+\frac{1}{3})^7$

Kondr · 05. 08. 2008 17:50

Dle binomické věty je $(a+b)^n={n \choose 0}a^nb^0+{n \choose 1}a^{n-1}b^1+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n \choose n}a^0b^n$
Proto je i-tý prvek rozvoje dán vztahem ${n\choose i-1}a^{n-i+1}b^{i-1}$ . Teď stačí dosadit. V prvním případě to vyjde
${10\choose 7}{(1/2)^3\cdot(-i)^7}={10\choose 3}{1/8\cdot i}=\frac{10\cdot9\cdot8}{1\cdot2\cdot3}\cdot1/8\cdot i=15 i$
Využil jsem toho, že ${a\choose b}={a\choose a-b}$ a taky těchto vztahů: (-i)^2=-1, (-i)^6=((-i)^2)^3=(-1)^3=-1, (-i)^7=(-i)*(-i)^6=-i*(-1)=i. Jinak tam snad žádný trik není, jen je třeba znát binomickou větu.
Pokud jsem ale něco uspěchal, klidně se zeptej. Hodně štěstí u reparátu.

George1511 · 07. 08. 2008 12:16

Dik moc... jestli jsem to pochopil tak ten druhy by mel vypadat takhle???

${7 \choose 2}*(-i)^5*(\frac{1}{3})^2={7 \choose 5}*(-i)*\frac{1}{9}=\frac{7*6*5*4*3}{1*2*3*4*5}*(-i)*\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}i$

$(-i)^5=(-i)^4*(-i)=(-1)*(-i)=-i$

Je to tak dobre????

Marian · 07. 08. 2008 17:51 — Editoval Marian (07. 08. 2008 21:20)

↑ George1511:
Ano, takto je to správně. Jen není důvod si komplikovat výpočet binomického koeficientu ${n\choose k}$ tak, jak to provádíš ty. Totiž skutečně platí (jak píše také Kondr) pro přípustná n a k identita
${n\choose k}={n\choose n-k}.$
Nicméně na druhou stranu je ve tvém případě
${7\choose 2}=\frac{7\cdot 6}{2!}=7\cdot 3=21$
a také podle zmiňované identity (tak, jak píšeš i ty ve svém posledním příspěvku)
${7\choose 2}={7\choose 7-2}={7\choose 5}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{5!}=21.$
Sám posuď časovou, popř. jiné druhy náročnosti tvého postupu pro výpočet binomického koeficientu ${7\choose 2}$ a postupu mnou doporučeného.

Promysli si dobře, co je rychlejší, např. při výpočtu binomického koeficientu ${20\choose 7}$ . Původní varianta, nebo upravená na tvar ${20\choose 13}$ ?