Matematické Fórum

cv · 17. 11. 2011 16:02

Zdravím, mohli byste mi poradit, proč se vybraná limita

$\lim_{x\to0} \frac{\ln (x+1)}{x} = 1$

rovná tomu, čemu se rovná?

Andrejka3 · 17. 11. 2011 16:29

Funkce logaritmus je definovaná jako mocninná řada. Nástroje pro zkoumání mocninných řad je možno získat až po probrání pořádné porce analýzy. Do té doby je užitečné věřit tomu, že to tak je.
Každopádně, pokud věříš, že existuje derivace fce ln(x+1) v bodě nula, a je jedna, stačí si napsat definici derivace a získáš předně limitu výše.
De facto je to totéž jako říci, že derivace exponenciálny v nule je jedna. A využít vět o derivací inverzních funkcí. Problém je ale, že exponenciála je definovaná pomocí mocninné řady.

Pavel · 17. 11. 2011 17:13 — Editoval Pavel (17. 11. 2011 17:14)

↑ cv:, ↑ Andrejka3:

Jen poznámka na okraj, logaritmus i exponenciála mohou být definovány jinak. Logaritmus jako inverzní funkce k exponenciální nebo pomocí určitého integrálu. Exponenciála pomocí funkcionálních rovnic. Tudíž i daný vztah lze dokázat bez použití nekonečných řad. Není to však triviální záležitost, je potřeba znát spoustu dalších souvislostí.

vanok · 17. 11. 2011 18:17 — Editoval vanok (17. 11. 2011 19:16)

Ahoj ↑ cv:,
Ako poznamenali kolegovia tento problem je zavisly na tom ako vas profesor zaviedol funkcieu ln.

V pripade, ze studovali aj jej derivaciu, tvoja limita sa pise:
$\lim_{x\to0} \frac{\ln (x+1)-\ln(1)}{x}$ , co je presne definicia derivacie jednej funkcie, ktoru si iste spoznal.

pf · 17. 11. 2011 19:10

↑ vanok:
Asi mělo být
$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)-\ln 1}{x}$ .

vanok · 17. 11. 2011 19:16 — Editoval vanok (17. 11. 2011 19:17)

Ahoj ↑ pf:,
Preklep... Opravujem!.Dakujem

jarrro · 17. 11. 2011 19:20

alebo ešte je možnosť zvlášť spočitať limitu zľava a sprava substitúcia $z=\frac{1}{x}$ to prevedie na
$\lim_{z\to \infty}z\cdot\ln{\left(\frac{1}{z}+1\right)}=\lim_{z\to \infty}\ln{\left(\left(\frac{1}{z}+1\right)^z\right)}=\ln{\mathrm{e}}=1$ resp.
$\lim_{z\to -\infty}z\cdot\ln{\left(\frac{1}{z}+1\right)}=\lim_{z\to -\infty}\ln{\left(\left(\frac{1}{z}+1\right)^z\right)}=\ln{\mathrm{e}}=1$

Alivendes

↑ Andrejka3:

To je chytré, nenapadlo by mě že stačí použít $\frac{dy}{dx}$

To jde takhle u všech funkcí, kde je ve jmenovateli x a blíží se to nule ?

Andrejka3

↑ Alivendes:
No ono to není moc chytré, protože to je "tak trochu" důkaz kruhem nebo spíše na čestné slovo, jakože to, že derivace skutečně takto vyjde se musí ukázat jinou cestou.

Nevím zda přesně odpovím na tu otázku, ale mějme fci f a bod $a$ a znejme derivaci f v bodě a. Pak
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}(a)$
a pokud je a = 0, je to typ limity, o kterem pises. Lze taky udelat pouhe posunuti: h=x-a, kterym se to prevede na ekvivalentni definici derivace:
$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .

Alivendes · 19. 11. 2011 21:15

↑ Andrejka3:

Rozumím, dokážu si to představit :)

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2011 16:02

vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

#2 17. 11. 2011 16:29

Re: vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

#3 17. 11. 2011 17:13 — Editoval Pavel (17. 11. 2011 17:14)

Re: vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

#4 17. 11. 2011 18:17 — Editoval vanok (17. 11. 2011 19:16)

Re: vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

#5 17. 11. 2011 19:10

Re: vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

#6 17. 11. 2011 19:16 — Editoval vanok (17. 11. 2011 19:17)

Re: vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

#7 17. 11. 2011 19:20

Re: vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

#8 18. 11. 2011 21:17 — Editoval Alivendes (18. 11. 2011 21:19)

Re: vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

#9 18. 11. 2011 22:45 — Editoval Andrejka3 (18. 11. 2011 23:42)

Re: vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

#10 19. 11. 2011 21:15

Re: vybraná limita ln(x+1) / x kde x->0

Zápatí